אברהם דה-מואברה – אבי תורת ההסתברות

סדרת הביוגרפיות שלי ממשיכה והפעם אביא את סיפורו של מתמטיקאי מיוחד ומשפיע מצרפת שכמו הקודמים לו לא זכה, בלשון המעטה, לעדנה בחייו. דבר זה נשמע תמוה היות וצרפת העניקה לעולם המתמטיקה יותר כישרונות ומחקרים מכל עם אחר שעסק בתחום הזה. תמוה עוד יותר שהפתגם – "אמור לי מי הם חבריך ואומר לך מי אתה" לא נזקף לזכותו של האיש היות וחבריו הקרובים ביותר נמנים עם גדולי המוחות של המין האנושי, ולמרות זאת הוא נשאר קטן ונדכא במשך כל ימי חייו.

המתמטיקאי הצרפתי הבא היה נכנס היום תחת קטגוריית "בריחת המוחות" היות ובשלב מסוים ברח לאנגליה על מנת לחפש חיים שלא כללו רדיפות והתנכלויות. ולמרות זאת, על אף שהיה מתמטיקאי בחסד עליון, דבר זה לא עמד לזכותו כאשר האנגלי הממוצע העומד מולו שמע את שפת אימו מתבוללת בתוך גיבוב מילים של השפה המקומית.
כולנו שונים אבל כולנו שווים ? לא בבית-ספרנו !

אברהם דה-מואבר (Abraham de Moivre) נולד בשנת 1667 במחוז שמפניה ליד פאריס למשפחה מהמעמד הבינוני-נמוך, שם התחנך על ברכי זרם הנצרות הפרוטסטנטית שהייתה מקור לדיכוי וחוסר סובלנות בעיקר מצד הכנסייה הקתולית של אותה תקופה. מצב זה הביא את דה-מואבר שלמד באקדמיה הפרוטסטנטית עד גיל 15 להגר לעיר סומור שם החל לעסוק, בין היתר, ביסודות הלוגיקה במוסד מקומי עד הגיעו לגיל 17. למרות שתחום זה לא נשק באופן פורמאלי עם עולם המתמטיקה, קירבתו הרעיונית היא זאת שהביאה את דה-מואבר לקרוא וללמוד בעצמו בזמנו הפנוי ספרים מתמטיים רבים; הנושא שריתק אותו יותר מכל האחרים בא מתוך המאמרים של המתמטיקאי הגדול הויגנס (Huygens) והיה קשור בניבוי תוצאות של משחקים הכוללים "סיכויים", דהיינו הימורים או משחקים בעלי הסתברויות. באותה שנה חזרו הוריו של דה-מואבר לפריס והלה נרשם ללימודים באוניברסיטה שם קיבל חינוך פורמאלי במתמטיקה – זוהי ההתחלה של חייו המתמטיים.

אולם, התחלה זו לוותה בקשיים רבים; הדיכוי שהזכרנו בתחילה בא לידי ביטוי באופן קיצוני ביותר בשנות מלכותו של לואי ה-14 דבר שהביא לידי כליאתו של דה-מואבר במנזר לתקופה ארוכה בגלל אמונותיו הדתיות. מיד לאחר ששוחרר, ברח דה-מואבר ללונדון שבאנגליה שם עבד כמורה פרטי למתמטיקה, כאשר הוא מגיע בעצמו לבתיהם של תלמידיו ואף מלמד את חלקם בבתי-קפה מקומיים. הידע המתמטי שלו באותה תקופה היה יחסית גדול והוא היה בקיא בכתבים הסטנדרטיים, אך בעת ביקור קצר בעיר השוכנת בדרום מערב המדינה הוא נתקל לראשונה בספר החשוב ביותר בעולם המתמטיקה (ובמדע בכלל) – הפרינקיפיה של אייזיק ניוטון (קרוי באופן מלא – עקרונות מתמטיים של פילוסופיית הטבע) ומיד הבין כי מדובר ביצירת אומנות של ממש אשר עלתה בכמה רמות על כל הכתבים המתמטיים אותם למד עד כה; היופי האינסופי במשפטי האלמוות של ניוטון (Newton) יצרו אצלו דחף בלתי נשלט ללמוד ולהעמיק את העקרונות המובאים בספר עד תומם; דה-מואבר רכש עותק של הספר והלהט הגדול שלו לדבר הביא אותו לידי כך שהוא קרע את הדפים בקצותיהם כך שיוכל לסחוב אותם בידיו בכל זמן , הסיבה שרצה לעשות זאת היא ללמוד תוך כדי שהוא הולך מתלמיד לתלמיד בזמן שהיה מלמד באופן פרטי. רק בכדי לסבר את האוזן, ראוי להדגיש שוב כי ניתן להגדיר ספר זה כמחלק את עולם המדע לשני חלקים, לפניו ואחריו, והרעיונות המובאים בו הם מהפכניים ובו זמנית גם קשים ביותר להבנה, אך על אף קושיים האמיתי דה-מואבר למד את כל הכתוב עד לעומקו של עניין בזמן קצר מאוד תוך שהוא עושה זאת רק בקטעים בהם התהלך רגלית ברחובות לונדון.

דה-מואבר החליט לשדרג את חייו האקדמיים וניסה להתקבל כחבר מן המניין בפקולטות למתמטיקה באחת האוניברסיטאות המקומיות אך זרים פרוטסטנטיים, בעיקר אלו הצרפתים, לא היו רצויים באנגליה ודרכו לא צלחה בכיוון זה. דה-מואבר הבין כי הוא היה צריך כרטיס כניסה לעולם המדע האנגלי וכך החל ליצור קשרי ידידות עם מדענים מקומיים, שני העיקרים מבינם היו אדמונד האלי (Halley) ואייזיק ניוטון, שהיה חבר טוב שלו לאורך שנים רבות. המאמר המתמטי הראשון שלו היה על מושג "הפלאקשנס" שניוטון הזכיר בספרו הגדול, מאמר זה שצורף לספר חשוב אחר של ניוטון הביא לידי בחירתו של דה-מואבר ל-"חברה המלכותית", שהייתה מעין מועדון חברים של מדענים מפורסמים.

לפני שאמשיך, אסביר ש-פלאקשנס, הוא המונח שניוטון נתן למה שקרוי כיום – שיטת הדיפרנציאל. שיטה זו וכן זאת הקרויה שיטת האינטגרל (שגם היא הומצאה על ידי ניוטון) נחשבות לשני ההישגים, על פי רוב, החשובים והשימושיים ביותר בעולם המתמטיקה בפרט והמדע בכלל. קשה לחשוב על תחום מדעי שלא מתבסס על שני אלה, לרוב על המונח הראשון. מונח זה, הדיפרנציאל, מתאר שיטה שבה ניתן להגדיר שינוי שחל ברגע מסוים בדבר כלשהו (כמו מהירות של רכב בקטע מסוים בכביש) וכן עבודות נוספות גרמו לשיטה למצוא דרכים בהן ניתן להפיק מקסימום ומינימום מפעולה כלשהי. נאמר למשל שאני בעל מסעדה ויש לי תשלומים קבועים בכל חודש כגון דמי שכירות, חשמל וכו'. מצד שני, יש לי הכנסות שאמורות לכסות עלויות אלו. על מנת למשוך סועדים אני רוצה לתת הנחה לכל קבוצה של X אנשים שנכנסת למסעדה. אני אבנה מעין משוואה של הכנסות אל מול הוצאות, כאשר הכנסות של ארוחות רגילות יתוארו כמשתנה כלשהו, וארוחות עם הנחה יתוארו כאותו משתנה אבל פחות הסכום שאותו אני מפחית. באמצעות שיטת הדיפרנציאל, ניתן בקלות למצוא שני דברים חשובים – האחת, בהנחה ואני יודע כמה סועדים יגיעו בחודש מסוים למסעדה, אוכל לדעת מה המחיר המינימאלי למנה רגילה (שתקף גם לארוחה עם הנחה) אותו ארצה לדרוש על מנת לכסות את ההוצאות החודשיות; דבר שני אותו אוכל למצוא הוא למשל לדעת כמה סועדים אני צריך שיסעדו אצלי (או מה גודל הקבוצה שתקבל הנחה) על מנת לכסות שוב את ההוצאות. כשמדובר בחיי היום-יום, שימוש במתמטיקה הזאת הוא פשוט ביותר ויכול לעזור לנו באופן מיטבי (כי ככה הוכח מתמטית).

נחזור לענייננו – בשנת 1710 דה-מואבר נבחר לאחד הנציגים בצוות מטעם החברה המלכותית שבדק את הטענות בדבר הריב הגדול בין ניוטון ללייבניץ (Leibniz) על זכויות היוצרים בגילוי שתי השיטות שהזכרתי מעלה, מינוי זה היה בעקבות העובדה כי הוא היה חברו הקרוב של ניוטון וברור מכך שהתוצאה הייתה "תפורה" מראש. מוזר עוד יותר הייתה העובדה שלמרות שדה-מואבר לא נשא תפקיד באוניברסיטה כלשהי באנגליה, הוא בכל זאת מונה להיות שופט בצוות שבחן את אחת הסוגיות המרתקות והמעוררות מחלוקת ביותר בעולם המתמטיקה.

במהלך הזמן דה-מואבר החל לפרסם מאמרים באופן עצמאי ובעצם היה אחד המייסדים של התחומים המתמטיים הידועים כיום כגיאומטריה אנליטית ותורת ההסתברות. המושג הראשון מתאר בעצם שיטה שבה בוחנים כל מיני צורות הנדסיות, כמו למשל מעגל, באמצעות כלים אלגבריים, דהיינו משוואות עם מספרים ונעלמים. המושג השני הוא ברור ומוכר, ובעניין זה דה-מואבר התבקש על ידי אחד הדוכסים באנגליה להרחיב את מחקריו היות והעבודות הקודמות בתחום זה שנעשו על ידי מונטמור (de Montmort) והויגנס (אותם קרא בילדותו) היו בלתי מספקים. דה-מואבר אכן הרחיב ושינה חלק מדבריו של מונטמור דבר שגרם לאחרון לבוא בכעס רב עימו, אולם בניגוד למלחמה בין לייבניץ לניוטון, עניין זה הסתיים באופן ידידותי. אוסיף רק שבספר זה של דה-מואבר מוזכר לראשונה, ביחד עם בעיות הסתברות רבות במשחקי קובייה, המושג שנקרא – אי-תלות סטטיסטית, שהוא יסודי וחשוב ביותר.

תרומותיו של דה-מואבר לעולם ההסתברות היו כה חשובות עד כי המתמטיקאי ההיסטוריון טודהאנטר (Todhunter) כתב ב-1865 כי " תורת ההסתברות חייבת את רובה לדה-מואבר, עם יוצא דופן אחד והוא לפלס (Laplace)". עוד שדה אותו חקר דה-מואבר היה ההסתברות לחיות ותיאוריות הקצבאות (כלומר קצבה או מענקים שניתנים לגורם מסוים על ידי גורם אחר), את המחקרים האלו ביסס על המאמרים של הויגנס ובייחוד על טבלאות שבדקו את ההסתברות של אדם לחיות על פי נתונים מהעיר ורוצלב שבפולין. השימוש העיקרי בטבלאות אלו היה, כצפוי, בידי חברות ביטוח של אותה תקופה.

בשנת 1730 חיבר דה-מואבר ספר חשוב מאוד שעסק באנליזה ובן היתר הובאה בו הוכחה למשוואה עימה הוא הכי מזוהה – "משוואת דה-מואבר", והיא -

cos x + i sin x)^n = cos nx + i sin nx)

חרגתי מדרכי והפעם הבאתי נוסחה מתמטית משום שמדובר בעניין קריטי לדברים הבאים.
נוסחה זו עוסקת בשילוב בין טריגונומטריה למספרים מרוכבים ומהווה בסיס חשוב למחקרים רבים בעולם המתמטיקה. טריגונומטריה עוסקת ביחסים מספריים בתוך צורות הנדסיות; נניח כי אני אדריכל שרוצה לבנות מבנה דמוי מגדל עזריאלי המשולש ובשביל זה נדרש ממני לתכנן את גודל הבסיס (שהוא כמובן משולש) בהתאם לחלקה אותה רכשתי. הטריגונומטריה עוזרת לנו למצוא בקלות כיצד יש לבנות את הבניין אך ורק באמצעות יחסים קבועים שמתקיימים בכל משולש שהוא; המילים אשר משמשות אותנו בתחום זה הינן מה שנראה בנוסחא כ-COS ו-SIN.

מצד שני, ישנו בנוסחא גם משתנה שנקרא i והוא מייצג עולם מסתורי ביותר ומרתק מעין כמוהו שבתוכו חבויים מספרים דמיוניים, אלכימיה מעוותת של המציאות שלנו. לא אוכל במסגרת זו להסביר ולו בקצת במה מדובר, אלא רק אקצר ואומר כי הראשון לגלות מספרים אלו היה המתמטיקאי האיטלקי, מיודעינו, ג'ירולמו קארדאנו (Cardano) שנעזר בהם כדי לפתור את אותה משוואה ממעלה שלישית שדנו בה לא מעט במאמר על טרטליה (Tartaglia); עד לפני זמן לא רב מספרים אלו אכן נקראו דמיוניים כי הם נגדו לחלוטין את כל עולם המחשבה המתמטי (אולם נעשו בהם שימושים רבים ומהותיים ללא כל בעיה), אך גילויים חדשים בעולם הפיסיקה מראים כי המספרים המוזרים האלו קיימים בתוכנו כמציאות לכל דבר (שלא תמיד ניתן להבין אותה).

שילוב של שני התחומים האלו יוצר מתנה שערכה לא יסולא בפז בעולם המתמטי, כל ענף שכזה שמשולב עם ענף אחר מביא לתוצאות פנטסטיות, קורא הרוצה להבין עד כמה חשוב הוא השילוב הזה ימצא זאת בתהליך ההיסטורי לפתרון התיאוריה האחרונה של פרמה (de Fermat).

מתוך כל הדברים האלו נראה כי דה-מואבר חי חיי אושר, אך האמת שונה בתכלית. פרנסתו היחידה הייתה תמיד משיעורים פרטיים ומצבו הכלכלי היה בכי רע והוא סבל מעוני קשה מאוד. דה-מואבר התחנן בפני המתמטיקאי הכביר יעקוב ברנולי (Jacob Bernoulli) שיפנה ללייבניץ בכדי שהאחרון ימליץ עליו למשרה כלשהי באוניברסיטת קיימברידג'', אולם ניסיון זה וניסיון נוסף של לייבניץ לאשר לו משרת פרופסורה בגרמניה לא עלו יפה. חמור הוא הדבר שאפילו ניוטון והאלי לא הצליחו לספק לו משרה כלשהי בכל האקדמיה האנגלית. אכן מדובר פה בפספוס שכן היה מדובר בעילוי מתמטי לכל דבר וניוטון אף היה אומר למתמטיקאים שחקרו אותו אודות תוצאותיו בספרו הפרינקיפיה: " אם אתם רוצים לדעת משהו ממה שרשמתי, תשאלו את דה-מואבר, הוא מבין זאת יותר טוב ממני".

דה מואבר לא נישא מעולם ונפטר בעוני כבד בהיותו בן 87 בלונדון. אנקדוטה מרתקת בעניין זה הייתה שדה-מואבר, ביחד עם קארדאנו, מפורסמים בגלל ששניהם ידעו לחזות בדיוק את יום מותם. לטענתו הוא ישן 15 דקות יותר בכל לילה ממה שהיה צריך וחישב את סכום הזמנים הכולל שכביכול "בזבז" לשווא. מסקנתו הייתה שהוא ימות ביום שישן 24 שעות בדיוק, וכך אכן קרה!.