שני מתמטיקאים מאוניברסיטת פנסילבניה מצאו פתרונות כלליים שלא היו ידועים במשך יותר ממאה שנים למשוואת ההולכה של בולצמן – משוואה בלתי פתירה בת 140 השנה.
זאת למרות שמדענים שעוסקים במכניקה סטטיסטית משתמשים במשוואה כל הזמן כאשר הם בונים מודל דינמי להתנהגות הגזים. המחקר התפרסם בכתב העת Proceedings of the National Academy of Sciences. הפתרונות למשוואה מתארים את המיקומים של מולקולות הגז בצורה הסתברותית ומנבאים את הסיכוי לכך שמולקולה תהיה ממוקמת במיקום כלשהו ויהיה לה תנע מסוים בכל זמן נתון בעתיד.
המחקר הנדון הוא בחלקו מסע היסטורי אבל בעיקר הוכחה מתמטית עליה עובדים המתמטיקאים מזה שנתיים. המחקר בוצע על ידי פיליפ ט. גרסמן ורוברט מ. סטריין ממחלקת פן למתמטיקה.
http://www.math.upenn.edu/~gressman/
http://www.math.upenn.edu/~strain/
http://www.math.upenn.edu/
במהלך שנות ה-1860 וה-1870 ג'יימס קלרק מקסוול ולודוויג בולצמן פיתחו את משוואת ההולכה כדי לנבא את התפלגות החומר בגז דליל בחלל ואת האופן שבו הוא מגיב לשינויים בגדלים כגון טמפרטורה, לחץ או מהירות. בו בעת שבולצמן התווכח עם ארנסט מאך אודות מציאות קיומם של האטומים והמולקולות, הוא פיתח משוואות שהיה בכוחן להוביל לניסויים שיגלו רמזים לקיומן של המולקולות. כך נשמר למשוואת בולצן מקום של כבוד בפנתיאון המדע ולו רק בשל היותה המשוואה שמספקת את המודל להתנהגות הגז. הניבויים שנובעים מהמשוואה לגבי התנהגותו של הגז אכן זכו לגיבוי על ידי ערימות של ניסויים בתחומים רבים בפיסיקה.
האמון המלא במשוואה והתמיכה לה זכתה מהניסויים – ההנחה שהגזים מורכבים ממולקולות – הביא את קהיליית המדענים לגמרי לאמץ את התיאוריה. מה גם שהתיאוריה ספקה ניבויים מכריעים וחשובים – כאשר החשוב מביניהם הוא שגזים באופן טבעי נוטים למצב של שיווי משקל בהעדר השפעות חיצוניות. אחד מהניסויים החשובים של המשוואה הוא שאפילו כאשר הגז מופיע במנוחה מבחינה מקרוסקופית, ישנה פעילות מולקולארית גועשת בצורת התנגשויות. בעוד שלא ניתן לצפות בהתנגשויות אלה, הן מסבירות את טמפרטורת הגז.
והנה מתמטיקאים החלו לחפש הוכחה ופתרונות מדויקים למשוואה. דיויד הילברט, המתמטיקאי המבריק מגוטינגן, שכמעט והביס את אלברט אינשטיין במרוץ בדרך לתורת היחסות הכללית, ניסה במשך שנים למצוא פתרונות פורמאליים למשוואת ההולכה של בולצמן, אך לשווא. דבר זה מוכיח עד כמה המשוואה קשה להוכחה ריגורוזית.
התעניינותם של גרסמן וסטריין התעוררה במשוואה המסתורית של בולצמן בשל העובדה שהיא מתארת היטב את ההתנהגות של העולם הפיסיקאלי. אולם עדיין מגליה יכלו למצוא לה אך ורק פתרונות עבור גזים בשיווי משקל מושלם.
שני המתמטיקאים השתמשו בטכניקות מהמתמטיקה המודרנית מתחום המשוואות הדיפרנציאליות החלקיות (שיטות מהאופרטורים הפסאודו-דיפרנציאליים) והאנליזה ההרמונית. המתמטיקאים התבססו בעיקר על שיטות שפותחו במאמר הזה:
R. Alexandre, Y. Morimoto, S. Ukai, C.-J. Xu, and T. Yang, "Uncertainty principle and kinetic equations", J. Funct. Anal. 255 (2008), no. 8, 2013–2066.
כך מרבית הטכניקות המתמטיות בכלל פותחו במהלך חמישים עד חמש השנים האחרונות ולכן מדובר במתמטיקה יחסית חדשה מאוד.
גרסמן וסטריין הוכיחו בעזרת שיטות אלה את הקיום של פתרונות קלאסיים כלליים מדויקים למשוואת בולצמן ודעיכה מהירה בזמן למצב שיווי משקל עבור משוואת בולצמן עם אינטראקציות ארוכות טווח. קיום של פתרונות קלאסיים כלליים ודעיכה מהירה בזמן לשיווי משקל רומזים על כך שהמשוואה מנבאת נכונה שהפתרונות ימשיכו להתאים להתנהגות של המערכת ולא תקרה איזו קטסטרופה מתמטית. למשל, המשוואה פתאום יכולה לאבד מאמינותה הפיסיקאלית רבת השנים כתוצאה משינוי מתמטי שיגרם במשוואה. דעיכה מהירה לשיווי משקל פירושו שההשפעה של הפרעה התחלתית קטנה בגז היא קצרת חיים ומהר מאוד היא נהפכת לבלתי מורגשת.
המחקר מספק הבנה מחודשת לאפקטים עקב התנגשויות של מגע, כאשר מולקולות שכנות אך נוגעות קלות זו בזו במקום להתנגש חזיתית. מסתבר שהתנגשויות של מגע אלה הן סוג ההתנגשויות הדומיננטי עבור משוואת בולצמן השלמה עם האינטראקציות ארוכות-הטווח.
החוקרים אמרו, "זה מדהים אותנו, שמשוואה שאותה קיבלו בולצמן ומקסוול ב-1867 ו-1872 מעניקה דוגמא יסודית לנגזרות חלקיות גיאומטריות שמופיעות במודל פיסיקאלי של עולם הטבע". וסטריין הוסיף, "הטכניקות המתמטיות שנועדו לחקור תופעות אלה פותחו רק בעידן המודרני". פירושו של דבר, שבולצמן ומקסוול היו כה גאונים כדי לפתח משוואה לפני כמעט מאתיים שנה, כזו שתתאים לפתרונות מתמטיים מודרניים אך ורק מלפני חמש שנים...
הניסוח של בולצמן מ-1872 במקור הבא:
Ludwig Boltzmann, Lectures on gas theory, Translated by Stephen G. Brush, University of California Press, Berkeley, 1964.
והניסוח של מקסוול מ-1866:
J. Clerk Maxwell, On the Dynamical Theory of Gases, Philosophical Transactions of the Royal Society of London 157 (1867), 49–88.[