הסטטיסטיקאים וחוקרי ההסתברות: מדע האי־ודאות

פרק מתוך הספר "האם אלוהים הוא מתמטיקאי?" מאת מריו ליביו מאנגלית: עמנואל לוטם, הוצאת אריה ניר

העולם אינו עומד דום. רוב הדברים הסובבים אותנו שרויים בתנועה, או משתנים בלי הפוגה. אפילו כדור הארץ, הנראה כה מוצק תחת כפות רגלינו, מסתחרר סביב צירו, חג סביב השמש ומקיף (יחד עם השמש) את מרכזה של גלקסיית שביל החלב. האוויר שאנו נושמים עשוי מביליוני מולקולות שכולן נעות בלי הרף, ובאקראי. בה בעת, צמחים גדלים, חומרים רדיואקטיביים מתפרקים, טמפרטורת האטמוספירה עולה ויורדת מיום ליום ומעונה לעונה ותוחלת החיים של האדם מתארכת בהתמדה. אבל תזזיתיותו זו של הקוסמוס, כשלעצמה, לא בלמה את המתימטיקה. ענף המתימטיקה הקרוי חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי (חדו"א), נוסד על־ידי ניוטון ולייבניץ במפורש כדי לאפשר ניתוח דקדקני של תנועה ושל שינוי, על־מנת שיהיה אפשר לבנות מודלים מדויקים שלהם. במשך הזמן שעבר מאז ימיהם נעשה הכלי המופלא הזה אדיר וחובק־כול, וניתן להשתמש בו לבדיקת תופעות שונות לחלוטין זו מזו כמו תנועתה של מעבורת חלל או התפשטותה של מחלה מידבקת. כשם שסרט קולנוע קולט תנועה על־ידי פירוקה לרצף של "מסגרות", בזו אחר זו, כן יכול החדו"א למדוד שינויים במסננת כה דקיקה, עד שהיא מאפשרת את קביעתם של גדלים בני־חלוף – כמו מהירות, תאוצה או קצב שינוי – ברגע קצרצר מאין כמוהו של זמן.

בעקבות צעדי הענק שעשו ניוטון ולייבניץ הוסיפו המתימטיקאים של עידן הנאורות (סוף המאה השבע־עשרה והמאה השמונה־עשרה) והרחיבו את החדו"א אל תחום אדיר ורב־יישומים עוד יותר ממנו, המשוואות הדיפרנציאליות. בנשק החדש הזה הצטיידו המדענים, המסוגלים כיום להציג תיאוריות מתימטיות מפורטות של תופעות המשתרעות החל בצלילים שמפיק מיתר כינור וכלה בהולכת חום, מתנועת סביבון ועד זרימת נוזלים וגזים. במשך זמן־מה, המשוואות הדיפרנציאליות היו הכלי המועדף לקידום הפיסיקה.

אחדים מראשוני החוקרים שתיירו בנופים החדשים אשר פתחו המשוואות הדיפרנציאליות היו בניה של משפחת בֶּרנוּלי האגדית. מאמצע המאה השבע־עשרה ועד אמצע המאה התשע־עשרה הוציאה משפחה זו מחלציה לא פחות משמונה מתימטיקאים דגולים. האנשים המחוננים הללו נודעו לשם, לא רק בזכות המתימטיקה המעולה שלהם, אלא גם – כמעט באותה המידה – בשל מריבות האחים החריפות שניהלו בינם לבין עצמם. כל היריבויות הפנים־ברנוליות היו קשורות לתחרות ביניהם על עליונות בעולם המתימטיקה, אם כי אחדות מהבעיות שעליהן התקוטטו אולי אינן נראות כיום חשובות במידה יוצאת מן הכלל. ובכל זאת, פתרון החידות הסבוכות הללו פתח במקרים רבים את השער לפריצות־דרך מתימטיות מרשימות ביותר. בכללותם של דברים, אין ספק בכך שמשפחת ברנולי מילאה תפקיד חשוב בביסוס המתימטיקה כשפתם של תהליכים פיסיקליים רבים ומגוונים.

סיפור אחד ימחיש את תחכום מחשבתם של שניים מן המבריקים בבני ברנולי – האחים יָקוֹבּ (1654 – 1705) ויוֹהָן (1667 – 1748). יקוב ברנולי היה אחד מחלוצי תורת ההסתברות, ונחזור אליו בהמשך פרק זה. אבל ב־1690 עסק יקוב בהחייאתה של בעיה שראשון התוהים עליה, מאתיים שנה קודם־לכן היה הגדול באנשי האשכולות של הרנסנס, לאונרדו דה וינצ'י: מהי הצורה שתקבל שרשרת אלסטית שאינה ניתנת להארכה, אם תיתלה בין שתי נקודות קבועות (ראו איור 31)? לאונרדו שרטט בפנקסיו כמה שרשראות כאלה, וגם דקארט שמע על הבעיה מפי ידידו איסק בקמן, אם כי אין ראיות לכך שדקארט ניסה לפתור אותה בפועל ממש. בסופו של דבר קיבלה הבעיה שם, בעיית קו־השרשרת. גלילאו חשב שהצורה תהיה פרבולית, אבל הישועי הצרפתי איגנטיוס פָּארדִי (1636 – 1673) הוכיח שטעות הייתה בידו. אלא שפארדי לא נטל על עצמו את משימת מציאתו של פתרון מתימטי לצורה הנכונה.

רק חלפה שנה אחת מאז הציג יקוב ברנולי את הבעיה, וכבר בא אחיו הצעיר יוהן ופתר אותה (בעזרת משוואה דיפרנציאלית). לייבניץ והפיסיקאי המתימטי ההולנדי כריסטיאן הַייגֶנץ (1629 – 1695) פתרו אותה גם הם, אבל פתרונו של הייגנץ עשה שימוש בשיטה גיאומטרית סבוכה יותר. הצלחתו של יוהן בפתרון בעיה שנבצרה מכוחו של אחיו, שהיה גם מורהו, הסבה לברנולי הצעיר סיפוק רב עד־כדי־כך שאפילו שלוש־עשרה שנה אחרי מותו של יקוב המשיך להתרברב בה. ב־29 בספטמבר 1718 שלח יוהן מכתב למתימטיקאי הצרפתי פייר רמון דה מוֹנמוֹר (1678 – 1719), ולא טרח כלל להסתיר את הנאתו:

אתה אומר שאחי הציג את הבעיה הזאת; אמת ויציב, אבל האם נובע מכך שהיה לו פתרון בשבילה? לא ולא. כאשר הציג את הבעיה לפי הצעתי (כי אני הייתי הראשון שחשבתי עליה), איש משנינו לא היה מסוגל לפותרה; אמרנו נואש וחשבנוה לבלתי־פתירה, עד שהודיע מר לייבניץ ברבים, בעיתון לייפציג של 1690, עמ' 360, כי עלה בידו לפתור את הבעיה אבל אין הוא מספר את הפתרון, כדי להעניק זמן לאנליטיקאים אחרים; והדבר הזה הוא שעודד אותנו, את אחי ואותי, לחדש את מאמצינו.

אחרי שנטל לעצמו בלי בושה את זכות הבעלים על עצם הצגת הבעיה, המשיך יוהן בשמחה גלויה לאיד:

עמלו של אחי עלה בתוהו; אשר לי, מזלי שיחק לי, כי מצאתי בי את המיומנות (אומר ולא אתפאר, כי מדוע עלי להצניע את האמת?) לפתור אותה במלואה... אמת היא שהדבר עלה לי במחקר אשר הדיר שינה מעפעפי במשך לילה תמים... אבל למחרת בבוקר רצתי בשמחה אל אחי, שעדיין התלבט באומללותו עם הקשר הגורדי הזה והעלה חרס בכפו, כי חשב תמיד בדומה לגלילאו שקו־השרשרת הוא פרבולה. חדל! חדל! אני אומר לו, אל תוסיף להתייסר עוד בניסיונך להוכיח את זהות קו־השרשרת עם הפרבולה, כי היא כוזבת מכול וכול... והנה אתה מדהים אותי בפסיקתך כי אחי מצא שיטה לפתרונה של בעיה זו... הנני ואשאלך, האומנם חושב אתה שאילו פתר אחי את הבעיה האמורה, היה מבטל את עצמו למעני ונמנע מלהופיע בין הפותרים, רק כדי להעניק לי את תהילת ההופעה לבדי על הבימה במעלת הפותר הראשון, לצד האדונים הייגנץ ולייבניץ?

אם היה לכם צורך בהוכחה שמתימטיקאים אינם אלא בני־אדם בסופו של דבר, הנה היא כאן, בסיפור הזה. אבל היריבות המשפחתית לא גרעה מאומה מהישגיהם של בני ברנולי. בשנים שלאחר פרשת קו־השרשרת המשיכו יקוב, יוהן ודניאל ברנולי (1700 – 1782) בדרכם, ומלבד זאת שפתרו בעיות דומות אחרות של מיתרים תלויים, גם קידמו את תיאוריית המשוואות הדיפרנציאליות בכלל, והציגו פתרונות לתנועותיהם של קליעים בתווך המתנגד למעברם.

סיפור קו־השרשרת ממחיש היבט נוסף של עוצמת המתימטיקה – אפילו בעיות פיסיקליות קלות־ערך לכאורה, יש להן פתרונות מתימטיים. אגב, צורתו של קו־השרשרת עצמו ממשיכה להרשים את מיליוני המבקרים בקשת השער המפורסמת של סיינט לואיס במיזורי. האדריכל הפיני־אמריקאי אֶרוֹ סָארִינֶן (1910 – 1961) ומהנדס הבנייה הגרמני־אמריקאי האנסקרל בַּנדֶל (1925 – 1993) עיצבו את המבנה הזה, שהיה לסמל, בצורה דומה לזו של קו־שרשרת מהופך.

הצלחתם המדהימה של המדעים הפיסיקליים בגילוי חוקים מתימטיים המושלים בהתנהגות הקוסמוס בכללותו עוררה מאליה את השאלה, האם אפשר או אי־אפשר למצוא עקרונות דומים ביסוד תהליכים ביולוגיים, חברתיים וכלכליים. האם המתימטיקה היא רק שפת הטבע, תהו המתימטיקאים, או שמא היא גם שפתו של טבע האדם? ואפילו אין בנמצא עקרונות אוניברסליים באמת ובתמים, אולי אפשר להשתמש לכל הפחות בכלים מתימטיים ליצירת מודלים של התנהגות חברתית, כדי להסבירה בסופו של דבר? בראשית הדרך היו מתימטיקאים רבים סמוכים ובטוחים ש"חוקים" המבוססים על גרסה זו או אחרת של החדו"א יוכלו לנבא בדיוק את כל אירועי העתיד, קטנים כגדולים.

זו הייתה, למשל, דעתו של הפיסיקאי המתימטי הדגול פייר־סימון דה לַפּלָאס (1749 – 1827). בחמשת הכרכים של ספרו מכניקה שמיימית סיפק לפלאס את הפתרון הראשון שהיה שלם כמעט לגמרי (אם כי מקורב בלבד) לתנועות השונות במערכת השמש. מלבד זאת, לפלאס היה האיש שהשיב על שאלה אשר נשגבה אפילו מכוחו של ניוטון הענק: מדוע זה מערכת השמש כה יציבה? ניוטון חשב שכוכבי הלכת, מחמת משיכת הכבידה ההדדית ביניהם, צריכים ליפול אל תוך השמש או לטוס ממנה והלאה אל מעמקי החלל, ולא נותר לו אלא להסתמך על יד אלוהים השומרת על שלמותה של מערכת השמש. לפלאס החזיק בדעה שונה במקצת. הוא העדיף שלא להסתמך על אצבע אלוהים, אלא פשוט סיפק הוכחה מתימטית לכך שמערכת השמש יציבה למשך פרקי זמן הרבה יותר ארוכים מכפי שחזה לה ניוטון. לפתרון הבעיה המסובכת הזאת הציג לפלאס פורמליזם מתימטי נוסף ששמו תיאוריית הטרידה, וזו אִפשרה לו לחשב את ההשפעה המצרפית של המוני הטרידות (הפֶּרטוּרבּציות) הקטנות במסלולו של כל כוכב לכת. לבסוף, כגולת הכותרת, הציג לפלאס את אחד מהמודלים הראשונים של עצם מקורה של מערכת השמש – לפי ההשערה הערפילית רבת־ההשפעה שלו, מערכת השמש נוצרה מהתכווצותה של ערפילית גזית.

לאור כל ההישגים המרשימים הללו, אולי אין פלא בכך שלפלאס הצהיר, בחיבורו מסה פילוסופית על הסתברויות, בתעוזה רבה:
כל האירועים, ובכלל זה גם אלה שבשל אי־חשיבותם דומה כאילו אינם נוהגים לפי חוקיו הגדולים של הטבע, הם תוצאות הכרחיות שלהם, ממש כמו סיבובי השמש. מתוך אי־ידיעת הקשרים המאחים אירועים כאלה אל מערכת היקום הכללית, היו שהציעו כי הם תלויים בסיבות עליונות או במקריוּת... עלינו לראות אם כן את מצבו הנוכחי של היקום כפועל יוצא של מצבו הקודם וכסיבת המצב שיבוא אחריו. אם נניח לרגע בינה שיש ביכולתה לחבוק את כל הכוחות המפעמים בטבע ואת המצבים השונים של הישויות שמהן הוא עשוי – בינה רחבה די הצורך לכפוף את כל הנתונים הללו לניתוח – הרי היא תחבוק באותה הנוסחה את תנועותיהם של הגופים הגדולים ביותר ביקום עם תנועותיו של הקל שבאטומים; כי לה, דבר לא יהיה אי־ודאי, והעתיד כמו העבר יהיו גלויים לפניה. רוח האדם, שעלה בידה להביא את האסטרונומיה לכלל שלמות, מציגה מושג קלוש בדבר בינה מעין זו.

למען הסר ספק, כשדיבר לפלאס על ה"בינה" העילאית המשוערת הזאת, הוא לא התכוון לאלוהים. בניגוד לניוטון ולדקארט, לפלאס לא היה דתי כלל ועיקר. כשנתן עותק של ספרו מכניקה שמיימית לנפוליאון בונפארטה, העיר הקיסר (ששמע כי אין שום זכר לאלוהים בחיבור זה): "מסייה לפלאס, שמעתי אומרים שכתבת את הספר הכביר הזה על מערכת היקום ולא הזכרת אף פעם אחת את בוראו." לפלאס השיב מיד: "לא היה לי צורך להציג את ההשערה הזאת." נפוליאון המשועשע סיפר על התשובה הזאת למתימטיקאי ז'וזף־לואי לַגרָאנז', והלה קרא: "אה! זוהי השערה יפהפייה; היא מסבירה דברים רבים." אבל הסיפור אינו מסתיים כאן. לפלאס, כאשר שמע על תגובתו של לגראנז', העיר ביובש: "ההשערה, אדוני, אכן מסבירה את כל הדברים, אבל אינה מאפשרת לנבא שום דבר. כמלומד, עלי לספק לך יצירות המאפשרות ניבויים."

במאה העשרים, התפתחותה של מכניקת הקוַונטים – התיאוריה של העולם התת־אטומי – הוכיחה כי הציפייה למצוא את היקום דטרמיניסטי לחלוטין הייתה אופטימית מדי. למען האמת, הפיסיקה המודרנית הוכיחה כי אי־אפשר לנבא, אפילו עקרונית, את תוצאתו של כל ניסוי. תחת זאת, התיאוריה רק מנבאת את ההסתברויות לקבלת תוצאות שונות. מצבם של מדעי החברה מסובך שבעתיים, בעליל, מחמת ריבוי הגורמים התלויים זה בזה, שרבים מהם שרויים באי־ודאות מרובה במקרה הטוב. ואכן, מלומדי המאה השבע־עשרה הבינו די מהר כי החיפוש אחר עקרונות חברתיים, שיהיו אוניברסליים כדוגמת חוק הכבידה של ניוטון, נועד לכישלון מלכתחילה. המצב נראה חסר סיכויים עוד יותר כאשר נמצא צורך לתהות על המתרחש בנפשותיהן של אוכלוסיות שלמות. אבל היו כמה הוגי דעות רבי־תושייה שלא אמרו נואש, אלא פיתחו אוצר חדש של כלי נשק מתימטיים חדשניים – סטטיסטיקה ותורת ההסתברות.

הסיכויים שמעבר למוות ולמסים

הסופר האנגלי דניאל דֶפוֹ (1660 – 1731), הידוע יותר מכול בזכות ספרו רובינזון קרוזו, חיבר גם יצירה על העל־טבעי ושמה ההיסטוריה הפוליטית של השטן. דפו, שראה ראיות למעשי שטן מכל עבר, כתב בספר זה: "בדברים ודאיים, כמו מוות ומסים, אפשר להאמין במשנה תוקף." דומה שהמדינאי והמדען האמריקאי בנג'מין פרנקלין (1706 – 1790) החזיק בהשקפה דומה על הוודאות. במכתב שכתב בגיל שמונים ושלוש לפיסיקאי הצרפתי ז'אן־בטיסט לֶרוּאָה נאמר: "חוקתנו נכנסה לפעולה הלכה למעשה. הכול מבטיח, כמדומה, שהיא תחזיק מעמד; אבל בעולם הזה אין לומר על שום דבר שהוא ודאי, מלבד מוות ומסים." ואמנם, דומה שמהלך חיינו אינו ניתן כלל לחיזוי, חשוף לאסונות טבע, רגיש לטעויות אנוש וסר למרוּתו של המקרה הסתמי. לא לחינם אנו מעניקים למקרה אצבע ואפילו יד, שלא לדבר על עיוורון; ביטויים כאלה מיועדים בדיוק להביע את העובדה שאנו חשופים לפני הבלתי־צפוי, ואיננו מסוגלים לשלוט בגורל. למרות המכשלות הללו, ואולי דווקא בגללן, מנסים מתימטיקאים, אנשי מדעי החברה וביולוגים, מאז המאה השש־עשרה, להתמודד במלוא הרצינות ובשיטתיות עם חוסר הוודאות. בעקבות ייסודו של תחום המכניקה הסטטיסטית, ולנוכח ההכרה בכך שעצם יסודותיה של הפיסיקה – כלומר מכניקת הקוונטים – מושתתים על אי־ודאות, הצטרפו למאבק גם הפיסיקאים של המאות העשרים והעשרים ואחת, בהתלהבות רבה. הנשק שבו משתמשים החוקרים במאבקם נגד היעדרו של דטרמיניזם מדויק הוא היכולת לחשב את הסיכוי לקבלתה של תוצאה מסוימת. הואיל ואין שום אפשרות לנבא תוצאה בפועל, אין ברירה אלא לחשב את ההסתברויות של תוצאות שונות. הכלים שפותחו כדי לקדם אותנו אל מעבר לספקולציות ולניחושים בעלמא – סטטיסטיקה ותורת ההסתברות – יוצרים את התשתית לא רק לחלק ניכר מהמדע המודרני, אלא גם למגוון גדול של פעילויות חברתיות, מכלכלה ועד ספורט.

כולנו משתמשים בהסתברות ובסטטיסטיקה, כמעט בכל החלטה שאנו מקבלים, גם אם אנו עושים זאת שלא ביודעין לפעמים. לדוגמה, אולי אינכם יודעים שמספר ההרוגים בתאונות דרכים בארצות הברית היה 42,636 בשנת 2004. אבל אילו עמד המספר על 3 מיליון, אני סמוך ובטוח שהייתם יודעים אותו. זאת ועוד, הידיעה הזאת הייתה בוודאי מניעה אתכם לחשוב היטב לפני כניסתכם למכונית בבוקר. מדוע שואבים אנו מהנתונים המדויקים הללו מידת־מה של ביטחון בהחלטתנו לנסוע במכונית? כפי שנראה עוד מעט, מרכיב מרכזי באמינותם הוא העובדה שהם מבוססים על מספרים גדולים מאוד. מספר ההרוגים ב־1969 בפריוֹ טאון שבטקסס, שכל אוכלוסייתה הייתה אז 49 נפשות, לא היה משכנע אותנו באותה המידה. הסתברות וסטטיסטיקה הן החצים הכי חשובים באשפתם של קשתי הכלכלה, של היועצים הפוליטיים, של הגנטיקאים, של חברות הביטוח ושל כל מי שמנסה להסיק מסקנות משמעותיות מתוך כמויות גדולות של נתונים. כשאנו מדברים על כך שהמתימטיקה התפשטה גם לתחומים שלא נכללו בעבר במסגרת־הגג הקרויה מדעים מדויקים, כמעט תמיד היא עשתה זאת דרך הפתחים אשר פתחו לפניה תורת ההסתברות והסטטיסטיקה. כיצד נולדו השדות הפוריים הללו?

הסטטיסטיקה – המילה לקוחה מאיטלקית: stato פירושה "מדינה", ו־statista הוא מי שעוסק בענייני מדינה – התייחסה בראשיתה לעצם איסופן של עובדות על־ידי פקידי ממשלה. את העבודה החשובה הראשונה בסטטיסטיקה במובנה המודרני של המילה עשה חוקר שלא מן השורה הרגילה – חנווני בלונדון של המאה השבע־עשרה. ג'ון גרוֹנט (1620 – 1674) הוכשר במכירת סדקית: כפתורים, מחטים ואף וילונות. מכיוון שעבודתו הותירה בידו שפע של זמן פנוי, למד גרונט לטינית וצרפתית בכוחות עצמו, והחל להתעניין בשטרות התמותה – הודעות שבועיות על מספר הנפטרים, לפי קהילות כנסייתיות – שהתפרסמו בלונדון מאז 1604.

פרסומם של דוחות אלה נוסד בראש ובראשונה לספק התרעה מוקדמת בדבר סימנים לפריצתן של מגיפות קטלניות. בהסתמך על המספרים הגולמיים הללו החל גרונט להבחין הבחנות מעניינות, שהביאו בסופו של דבר לפרסום ספרון בן שמונים וחמישה עמודים בשם תצפיות טבעיות ופוליטיות הנזכרות במפתח דלקמן, בהתבסס על שטרות התמותה. באיור 32 תמצאו דוגמה לטבלה מספרו של גרונט, המפרטת לפי סדר הא"ב לא פחות משישים ושלוש סיבות מחלה ומוות. בהקדשה שהופנתה אל נשיא החברה המלכותית ציין גרונט כי הואיל ועבודתו נוגעת "לאקלימים, לארצות, לעונות, לפריון, לבריאות, לחולי, לאריכות ימים וליחס בין הזוויגים ובין הגילים של האנושות," זוהי בעצם מסה בחוכמת הטבע. ואכן, גרונט לא הסתפק רק באיסוף הנתונים ובהצגתם. לדוגמה, על־סמך בחינה של המספר הממוצע של הַטְבָּלות ושל קבורות זכרים ונקבות בלונדון ובקהילה הכפרית רוֹמזי שבנפת המפשייר, הוכיח גרונט לראשונה את יציבותו של יחס הזוויגים בלידה. ביתר פירוט, הוא מצא כי בלונדון נולדות שלוש־עשרה נקבות לכל ארבעה־עשר זכרים, וברומזי – חמש־עשרה נקבות לכל שישה־עשר זכרים.

ראוי לציין כי הוא הוסיף והביע, בראיית נולד מרשימה, את שאיפתו כי "התיירים ישאלו אם כך הדבר גם בארצות אחרות." ועוד הוסיף כי "ברכה היא לאנושות, שכן בעודף הזה של זכרים ניצב מחסום טבעי לפוליגמיה: כי במצב הזה לא יוכלו נשים לחיות באותו יחס מספרי ובאותו שוויון של הוצאות עם בעליהן, כאשר הן חיות כאן ועכשיו." בימינו, היחס המקובל בין יילודים ויילודות הוא 1.05 בקירוב. ההסבר המסורתי לעודף הזה של זכרים הוא שאמא טבע מטה את כפות המאזניים לטובת לידת זכרים משום שהזכרים, כעוּבּרים וכתינוקות, חסונים מעט פחות מהנקבות. אגב, מטעמים שאינם ברורים לגמרי, הפרופורציה של בנים זכרים הולכת ויורדת במקצת מדי שנה, גם בארצות הברית וגם ביפן, מאז שנות השבעים של המאה שעברה.