# אל האינסוף ומעבר לו

> האם ניתן לבצע מספר אינסופי של פעולות בפרק זמן קבוע, האם יוכל גיבור מיתולוגיה לעבור אינספור חומות של אלים ולהגיע אל מחוז חפצו, וגם: פרדוקס מתמטי של האינסוף מריוס כהן פרדוקס המנורה של תומפסון את פרדוקס הנורה (או המנורה) הציע הפילוסוף האנגלי ג'יימס תומפסון (Thompson), והרי תמציתו: מעגל חשמלי מדליק ומכבה נורה לסירוגין, כך שהפעולה הראשונה (הדלקת הנורה) אורכת מחצית השנייה, וכל פעולה נוספת נמשכת בדיוק מחצית הזמן מהפעולה שקדמה…

- Canonical: https://www.hayadan.org.il/toward-infinity-0703081
- Author: גליליאו - מגזין המדע
- Published: 2008-03-07T00:09:19+02:00
- Modified: 2008-01-20T16:58:13+02:00
- Sections: מתמטיקה
- Topics: מריוס כהן - עולם רדוף שדים, מתמטיקה, פרדוקסים

## Article

האם ניתן לבצע מספר אינסופי של פעולות בפרק זמן קבוע, האם יוכל גיבור מיתולוגיה לעבור אינספור חומות של אלים ולהגיע אל מחוז חפצו, וגם: פרדוקס מתמטי של האינסוף מריוס כהן פרדוקס המנורה של תומפסון את פרדוקס הנורה (או המנורה) הציע הפילוסוף האנגלי ג'יימס תומפסון (Thompson), והרי תמציתו: מעגל חשמלי מדליק ומכבה נורה לסירוגין, כך שהפעולה הראשונה (הדלקת הנורה) אורכת מחצית השנייה, וכל פעולה נוספת נמשכת בדיוק מחצית הזמן מהפעולה שקדמה לה. כתוצאה מכך מבצעת הנורה אינסוף פעולות בזמן מצטבר של שנייה אחת. האם בתום אותה שנייה תהיה הנורה דולקת או כבויה? מצד אחד, הנורה חייבת להיות באחד משני מצביה האפשריים: דולקת או כבויה, אך מצד אחר, מאחר שהמעגל מבצע מספר אינסופי של פעולות, הרי שאחרי כל פעולת הדלקה מגיעה פעולת כיבוי ואחרי כל פעולת כיבוי מגיעה פעולת הדלקה, כלומר, לא ייתכן שהתהליך יסתיים לא בהדלקת הנורה ולא בכיבויה! פתרון הפרדוקס: מפתה לחשוב שהפתרון לפרדוקס הוא פיזיקלי. כלומר, שמעגל חשמלי כזה איננו אפשרי טכנולוגית (בשל העובדה שהמהירות הגבולית בטבע היא מהירות האור, למשל), או שהחל מנקודה מסוימת ואילך משך הפעולה יהיה כה קצר שהנורה לא תספיק להידלק או לכבות, והיא תישאר באחד משני מצביה עד סוף אותה שנייה שבה המעגל פועל. פתרון פרגמטי כזה עשוי להתאים לכל ניסיון לבצע אינסוף פעולות פיזיות במשך זמן מוגבל, למשל להקיש לסירוגין על שתי אותיות במקלדת, נאמר א' ו-ב', כך שמשך כל הקשה קצר פי שניים ממשך ההקשה שקדמה לה (מאחר שסדרת ההקשות נמשכת פרק זמן סופי, ניתן לשאול מהי האות שהוקשה אחרונה; אך מאחר שמספר ההקשות הוא אינסופי, הרי שלאחר כל הקשה על האות א' מתבצעת הקשה על האות ב' ולהפך). גם במקרה זה ניתן לטעון שקיימת מגבלה פיזית על מהירות ההקשה (אם אנושית ואם מכנית), כך שמספר ההקשות בכל פרק זמן נתון חייב להיות סופי. תומפסון עצמו הציג את הפרדוקס במטרה להוכיח שאי-אפשר לבצע מספר אינסופי של פעולות בפרק זמן סופי, ויש הסבורים שהפתרון הפיזיקלי הוא אכן הפתרון הנכון לפרדוקס זה¹. אלא שמגבלות פיזיקליות אינן פותרות את הבעיה הלוגית (גם אם צדק תומפסון בקביעתו שאי-אפשר לבצע מספר אינסופי של פעולות בפרק זמן סופי). נניח שלא היו קיימות מגבלות טכנולוגיות או אחרות כלשהן על בניית המעגל החשמלי שתואר לעיל ועל הפעלתו. האם תהיה הנורה דולקת או כבויה בתום השנייה? מאחר שהבעיה האמיתית היא בעיה לוגית (או מתמטית), מן הסתם גם הפתרון שלה צריך להיות כזה. אם כן, הבעיה נעוצה בעובדה שהשאלה אם הנורה תהיה דולקת או כבויה נשאלת לגבי מצבה לאחר תום סדרת פעולות ההדלקה והכיבוי. אך אין בהגדרת הבעיה שום קביעה לגבי מצב הנורה מחוץ לסדרה זו. במסגרת הסדרה אנו יודעים שאחרי כל פעולת הדלקה מתרחשת פעולת כיבוי ולהפך, אך מכיוון שכל פעולות הסדרה מתרחשות לפני שעוברת שנייה אחת, אי-אפשר להסיק דבר על מצב הנורה בתום אותה שנייה. מצב זה יש להגדיר בנפרד, ואפשר לקבוע אותו כרצוננו: נורה דולקת או נורה כבויה. להלן פרדוקס נוסף של האינסוף, שהציע בשנת 1964 הפילוסוף חוזה א. בנרדט (Benardete).  פרדוקס האלים גיבור ממיתולוגיה כלשהי, שבה אינסוף אלים מגלים עניין ומעורבות במעשי האדם (אך אינם מודעים זה לרצונותיו של זה), מחליט לצאת לדרך מכפרו לכפר סמוך. ואולם, אף אחד מאינסוף האלים אינו מעוניין בהצלחת מסעו. על כן מחליט אחד מהם שכאשר יגיע הגיבור לאמצע הדרך, הוא יעמיד בפניו חומה בלתי עבירה. אל שני, אשר אינו מודע להחלטתו של האל הראשון, מחליט להעמיד בפני גיבורנו חומה כאשר זה יגיע לרבע הדרך. אל שלישי זומם לעשות זאת כאשר יגיע הגיבור לשמינית הדרך, וכן הלאה וכן הלאה, כשכל אחד מאינסוף האלים מחליט על העמדת חומה בדרכו של הגיבור, וזאת במחצית הדרך משער הכפר לנקודה שבה מחליט אל אחר כלשהו להעמיד את חומתו. באופן כזה אין גיבורנו מסוגל לעשות אפילו צעד אחד קטן אל מחוץ לכפרו, שכן הניסיון לעבור מרחק כלשהו יימנע ממנו על-ידי הופעתה של חומה בלתי עבירה. ואולם, אם הגיבור אינו יוצא מהכפר, הרי שאף אחד מהאלים אינו מממש את כוונתו לחסום את דרכו בחומה, ויוצא שמגיבורנו נמנע לבצע את מסעו המתוכנן מבלי ששום חומה תחסום אותו בפועל. פתרון הפרדוקס: גם כאן ההנחה שלא ייתכן קיומם התיאורטי של אינסוף אלים אינה פותרת את הפרדוקס, כי גם במקרה זה הבעיה היא לוגית ולא פיזיקלית. כמו כן, רבים נוטים לדמיין את הגיבור המיתולוגי עושה את צעדו הראשון אל מחוץ לכפר, ונחסם מיד בחומה בלתי עבירה. לאחר שהועמדה החומה הראשונה (ממש בפתח הכפר), אין שאר האלים צריכים עוד להתערב בנעשה. בדיוק חומה אחת הועמדה בקרבת השער, והיא זו שמנעה מגיבורנו לצאת לדרך. אך באיזה מרחק בדיוק משער הכפר הועמדה החומה? אם נניח שהיא הועמדה במרחק מטר אחד בלבד ממנו על-ידי האל שהחליט על מרחק זה מראש, הרי שיש אל נוסף, אשר החליט להעמיד חומה במרחק מחצית המטר מהשער, כך שהגיבור לעולם לא היה מצליח להשלים את המטר הראשון במסעו. אך בניסיונו לעבור מרחק של מחצית המטר, הוא היה אמור להיעצר על-ידי חומה אחרת במרחק של רבע מטר מהשער. אך גם למרחק זה אין הוא יכול להגיע, בשל החומה שאמורה לחסום את דרכו במרחק שמינית המטר מהשער, וכן הלאה, וכן הלאה: בכל מרחק מהשער שבו נניח שהועמדה החומה היחידה החוסמת את דרכו, נגלה שלגיבור הסיפור לא היה שום סיכוי לעשות מרחק זה בשל חומה אחרת שכבר היתה אמורה לחסום את דרכו. אך אם שום חומה אינה מוצבת בדרכו בסופו של דבר, מה מונע מגיבורנו לצאת את הכפר? ובכן, הפתרון טמון בכך שרצונות האלים אינם מתיישבים זה עם זה: כל אל מתכוון להעמיד חומה בנקודה שהוא בחר אם ורק אם גיבור הסיפור יגיע אליה. ואולם, הגיבור יגיע לנקודה זו אם ורק אם לא חסמה את דרכו לשם חומה אחרת. מכאן שכל אל יעמיד חומה אם ורק אם שום אל אחר לא הקדים אותו והעמיד חומה לפניו. אך מכיוון שאין אל שבחר מרחק מינימלי מסויים משער הכפר להצבת חומתו (כלומר, מרחק כזה ששום אל אחר לא בחר קצר ממנו), הרי שכדי שאל כלשהו יוכל להעמיד חומה בהתאם לכוונתו המקורית, על אינסוף האלים שבחרו מרחקים קצרים יותר מהשער לוותר על כוונתם-הם לעשות זאת. מכאן שאם יתחיל הגיבור את מסעו אין זה אפשרי לוגית שרצונותיהם של כל האלים יתממשו, ולמעשה ייתכנו רק שני מצבים: או ששום אל לא יממש את כוונתו, והגיבור ישלים את מסעו כמתוכנן, או שרק מספר סופי של אלים, מאלו אשר בחרו מרחקים הגדולים או שווים למרחק נתון משער הכפר, ייצמדו לתכניתם המקורית, כשאינסוף האלים האחרים, אשר בחרו מרחקים קצרים יותר, יוותרו עליה. כל מצב אחר אינו אפשרי לוגית (ורק לצורך הבהרה: אם אל אינו מעמיד חומה משום שאל אחר עשה זאת לפניו, הוא בהחלט פועל על פי תכנונו המקורי).  לקינוח - פרדוקס מתמטי של האינסוף אם נחבר את כל המספרים הטבעיים (כלומר, השלמים החיוביים), ברור שהתוצאה תהיה אינסופית בגודלה. ואולם, אם נחבר את כל המספרים השלמים (ובהם אלו השליליים), מה תהיה תוצאת החיבור? ננסה לפתור את התרגיל על-ידי סידור מספרים אלו בזוגות (מלבד המספר 0) באופן הזה:  ננסה עכשיו לפתור שוב אותו תרגיל, והפעם באמצעות סידורם של המספרים בזוגות באופן הזה:  מהי, אם כן, התוצאה הנכונה של התרגיל, וכיצד ייתכן ששני ביטויים אריתמטיים, שעל פי כל הכללים אמורים להיות שווים, נותנים תוצאות שונות?