חישוב מהיר מראה כי בהוראת מתמטיקה יש יותר מקו שבר אחד, וכי אין תחליף לעבודה קשה
רון אהרוני | גלילאו
היעילות הלא סבירה של המתמטיקה
ב-1960 פרסם הפיזיקאי חתן פרס נובל יוג'ין ויגנר (Wigner) מאמר ששמו הולך לפניו, במובן מילולי – רבים מכירים את שמו, אף אם לא קראו את המאמר עצמו: “היעילות הלא סבירה של המתמטיקה”. אכן, מעין נס הוא עד כמה המתמטיקה מועילה בניסוח תיאוריות מדעיות ובניבוין של תופעות בעולם.
לכאורה, המתמטיקה היא רק כלי בידיהם של מדעים אחרים. למעשה, לעתים קרובות היא מתווה את הדרך. נוסחה קטנה תופסת עולם שלם, ומצביעה להיכן צריכה התורה הפיזיקלית ללכת. זו אינה הסיבה היחידה מדוע חשוב ללמוד מתמטיקה.
לחשוב בצורה מתמטית פירושו לחשוב בהפשטה ובדיוק, דבר מועיל בכל תחום שהוא. המתמטיקה היא המפתח לכל המקצועות המדעיים והטכנולוגיים, הן בגלל השימוש הישיר בה והן בגלל שימושיה העקיפים – פיתוח החשיבה המופשטת.
אם כן, אין פלא שמדינת ישראל נזעקת כל כמה שנים לנוכח הישגיהם הפחות ממזהירים של תלמידיה במתמטיקה, וכל כמה שנים נדרשים מחנכים וחוקרים למצוא לכך פתרון. כמו לכולם, גם לי אין פתרון להציע.
לימוד הוא עבודה, ואין תחליף לעבודה קשה. הסוד העיקרי נמצא באווירה לימודית ובתור מתמטיקאי, ואפילו כזה שבילה את עשר השנים האחרונות כמורה, אין לי הרבה מה לומר בנושא.
איך מפיגים חרדת מתמטיקה
מכשול מוכר בהוראת המתמטיקה הוא החרדה, שמשתקת ומונעת לימוד אפקטיבי. אנשי החינוך, שמכירים בכך, מנסים למנוע את חרדת המתמטיקה על-ידי פעילויות מהנות, פעילויות של גילוי עצמי ותרגילים מתוחכמים ויפים.
זוהי מגמה ששולטת בחינוך המתמטי מאז סוף שנות השמונים של המאה הקודמת, זמן שבו ארגון המורים האמריקני הוציא ספר שנקרא “סטנדרטים”. הכוונה היא שהילדים אינם צריכים לדעת חומר מסוים, אלא רק דרכי חשיבה. ה”סטנדרטים” פירושם יכולות חשיבה מסוימות שהילד אמור להגיע אליהן: הצבה ובדיקה של השערות, אומדן, וגילוי חוקיות.
הגישה הזאת, ששמה המקובל הוא “חקר”, או “גילוי עצמי”, השתלטה על החינוך המתמטי באמריקה בתחילת שנות התשעים ומיד החלה לחלחל לחינוך המתמטי גם בכל שאר ארצות תבל.
מתמטיקאים ששומעים את הרעיון הזה נרעשים. המתמטיקה היא גוף ידע נדבכי, הרבה יותר מאשר כל תחום ידע אחר. לכל מתמטיקאי ברור שהחשיבה מתפתחת תוך כדי לימוד מתמטיקה, לא מלימוד עקרונות חשיבה.
אי אפשר ללמוד על ריק! ולכל מתמטיקאי ברור שהמתמטיקה אינה אוסף חסר סדר של פעילויות. וכן, שאם ניתן לכל ילד לגלות את עובדות המתמטיקה בלי הדרכה סדורה, הוא לא ירחיק לכת. אלא שהמתמטיקאים לא היו מעורבים (כמעט) ברפורמה החינוכית הזאת.
למעשה, מעטים מחוץ לעולם החינוך המתמטי ידעו על המהפכה. זו אחת מן הבעיות בחינוך: קל מאוד לעשות בו שינויים, ורוב העומדים מן הצד, כולל הורים, אפילו לא יודעים על השינויים האלה.
אלא שלאחר שנים ספורות התברר שמהפכת ה”חקר” הובילה לאנדרלמוסיה אדירה. תלמידי ארצות הברית פשוט לא ידעו מתמטיקה. ב-1994 נזעקו כמה מאות מתמטיקאים ומדענים (חלקם הגדול הורים לילדים נפגעי השיטה) ופרסמו מודעה גדולה ב”וושינגטון פוסט” כנגד השיטה החדשה.
הייתה זו יריית פתיחה ל”מלחמות המתמטיקה” שמטלטלות מאז את החינוך המתמטי בארצות הברית ובעולם כולו. הן עוד לא הסתיימו. לארץ הגיעה גישת ה”חקר” מאוחר למדי ולאחר שהתבררו ממדי הכישלון בחו”ל, כך שלא גרמה נזקים גדולים מדי.
שלושה עקרונות
כי אכן, הסוד אינו בפעילויות מהנות, אלא בהבנה. ילד נהנה ללמוד כאשר הוא מבין. והוא מבין כאשר הוא לומד את החומר בשיטתיות, על פי סדר נכון, מן הקל אל הכבד, ובייחוד מן המוחשי אל המופשט. לטעמי, אפשר למעשה לסכם את כל מה שחשוב בחינוך המתמטי בשלושה עקרונות:
1. שיטתיות
2. הליכה מן הקונקרטי למופשט
3. ניסוחים מילוליים מדויקים.
אלא שפשטות הניסוח של שלושת העקרונות האלה מטעה. מאחורי כל אחד מהם עומד עולם שלם, ובייחוד מאחורי העיקרון הראשון, השיטתיות. אין זה פשוט כל כך כמו שזה נשמע. שכן, עקרונות המתמטיקה היסודית פעמים רבות סמויים מן העין. אנחנו רגילים אליהם כל כך, שאיננו שמים לב לקיומם. קל להחמיץ אותם, והתוצאה היא אז בניית קומות חדשות על גבי קומות חסרות.
הנקודה היא שהוראה שיטתית דורשת התעמקות גם בעובדות דקות ועדינות, אחרת הלימוד נשאר ריק. לרוב תלמידי התיכון העובדה שקו השבר הוא סימן חילוק היא בגדר מילים ריקות. הם אפילו לא מבינים כדבעי מהו שבר.
באלגברה מעדיפים את קו השבר על פני סימן החילוק, משום שקו השבר משמש גם כסוגריים, והחיסכון בסוגריים מקל על קריאתם של ביטויים מסובכים. ומי שאינו מבין את הקשר לחילוק מסתבך. תלמידי תיכון רבים, אפילו טובים, מבקשים מן המורים שלהם “רק לא שברים”.
מה הפתרון?
כאמור, אין פתרונות פלא. אבל יש פתרון אחד שהוא יעיל מאוד: ספרי לימוד טובים. רבים מכותבי ספרי הלימוד סבורים שתפקידם לספק לילד פעילויות מעניינות. פעילויות מעניינות הן חשובות, אבל הן לא העיקר.
העיקר הוא ללמד על פי סדר ובאופן מוחשי. ספר לימוד לבית הספר היסודי ששם דגש על משמעות פעולות החשבון, על קונקרטיות, מספר על העובדות הדקות, יכול לעשות שינוי. בייחוד משום שספר הלימוד מלמד לפני הכול – את המורה! התלמיד מבלה עם ספר הלימוד פעם אחת: המורים חוזרים אליו פעמים רבות.
ספר לימוד טוב הוא ההכשרה הטובה ביותר שמורים יכולים לקבל. אם כן, בעיניי זהו הסוד, ושם צריך להיות המאמץ מרוכז. ספרי לימוד שכתובים לפי שלושת העקרונות שמניתי לעיל יכולים לשנות את פני הוראת המתמטיקה, ולהשפיע לטובה על יחס התלמידים למתמטיקה ועל הישגיהם.
פרופ' רון אהרוני הוא חבר סגל בפקולטה למתמטיקה בטכניון. מחבר הספרים “חשבון להורים – ספר למבוגרים על מתמטיקה של ילדים” (שוקן, 2004) ו”מתמטיקה שירה ויופי” (הקיבוץ המאוחד, 2008). ספר אחר שלו, “החתול שאיננו שם” (על הגדרת המושג “פילוסופיה”) עומד להופיע בהוצאת מאגנס.
18 תגובות
.
יש חוסר הטעם ללמד את כל אחד מתמטיקה
פעם אחר פעם, מבחנים ומחקרים מקיפים על בוגרי בתי-הספר התיכוניים הפיקו את התוצאות המובנות מאליהן, והחזויות — לאמור, שמרבית המלומדים הצעירים שלנו יודעים מעט מאד מתמטיקה. אולי הם יודעים לחבר ולחסר, איכשהו, אולי קצת כפל וטיפת חילוק; אבל לא הרבה יותר מזה.
תגובת הרפלקס המותנה המיידית למחקרים כגון אלו היא אחת של אימה. “יה, כמה נכשלנו בבתי-הספר שלנו”, נאנחים מנהיגי קהילות אחדים; “נחוצים לנו שינויים, רפורמות, כדי להבטיח שהצעירים שלנו ילמדו את המתמטיקה המתקדמת שהם זקוקים לה על מנת להסתדר בעולם המודרני. הסתכלו על בתי-הספר היפאנים, וכו’ וכו’ וכו'”.
קודם כל, נמאס לי לגמרי לשמוע על בתי-הספר הפינים, היפאנים, התאיוואנים, רוסים, גרמנים, שווייצרים, צרפתים, וכל הקשור אליהם. עם כל בתי-הספר הנפלאים האלה שלהם, הם אינם מצליחים להפיק חברות שאיכשהו מושכות יותר מהחברה שלנו. תחושת החופש האישי, ההגשמה העצמית, היצירתיות, החיוניות, האופטימיות, החיות, הסובלנות, ההתפשרות, הפתיחות, וכל התכונות הנפלאות האחרות אשר מהוות מרכיבים מהשקפת העולם שלנו — כל אלו נעדרות באופן בולט או, במקרה הטוב, דולקות בלהבה קטנה בכל הארצות האלו המוצגות בפנינו כביכול כדגם לחיקוי. אם בתי-הספר שלהם עושים עבודה כל כך נהדרת, התוצאות נראה אינן מחזיקות מספיק זמן בכדי להשפיע על החיים של אזרחיהן.
אולם השאלה האמיתית היא: למי איכפת מתוצאות המחקרים כגון אלו האם אין זה צבוע במקצת לקבול על הבורות במתמטיקה של בוגרי בתי-הספר התיכוניים, בזמן שלמעשה כל האוכלוסיה המבוגרת במדינה (ולמעשה בכל העולם כולו) יודעת על הנושא מעט באותה מידה? האם מישהו באמת מאמין שאם צוות ההוראה והניהול של בתי-הספר המקומיים שלנו היה נבחן, התוצאות היו שונות מאלו של התלמידים? למעט מורים למתמטיקה, ואולי לפיזיקה וכימיה, האם למישהו מכל האחרים יש סיבה לדעת או להשתמש במתמטיקה בחיי היום-יום או בחיים המקצועיים שלהם? האם מנהלי החברות הגדולות, או השותפים של משרדי עורכי-דין המובילים, או חברי בתי-המחוקקים של המדינות או של המדינה, מכירים את הנושא טוב יותר? כמה מהם היו מסוגלים להתמודד עם הבעיה שלהלן, שהיא בעיה טיפוסית בספר לימוד: “ריכוז האלכוהול היה צריך להיות 52 אחוזים. כמה מיליליטר תמיסה של 60 אחוזים יש להוסיף ל-200 מיליליטר תמיסה של 20 אחוזים כדי לקבל את הריכוז המתאים?” כוונתי, כמה אנשים יכלו לתת לך מושג מה זה מיליליטר, עזוב כיצד לחשב ריכוזים של תמיסות שונות ולמי זה איכפת.
שיחה על בגדי המלך החדשים! קבוצת מחנכים מסויימת מחליטה איזה חלק קטנטן ממרחב הידע המתמטי יש ללמד את כל אחד בבית-הספר, וכל אחד אומר “אמן” ושם את זה בתכנית הלימודים. הרבה יותר נשאר בחוץ ממה שמוכנס פנימה, אולם איש אינו יודע לעשות את זה טוב יותר, ואיש אינו קם ואומר: “זוהי שטות. התחומים בהם בחרתם ללמד הם כל כך בלתי רלוונטיים כמו אלה שהשארתם בחוץ. המלך בכלל ערום!”
אני מניח שאני כבר אומר את זה, חזק כמה שאני יכול. אני אומר את זה פעם אחר פעם אחר פעם, כל זמן שיש לי נשימה: אין טעם ללמד 99 אחוזים מתכנית הלימודים במתמטיקה שמלמדים בבתי-הספר היום, בוודאי לא למישהו שאיננו מאד מעונין בנושא. לי יש הכשרה כל כך טובה וידע כל כך נרחב במתמטיקה כמו אלו שאפשר לרכשם בתכנית לתואר שלישי באוניברסיטה טובה, כך שאינני מדבר על תחום שבו אני בור. העובדה היא שהמאמץ ללמד את החומר הזה הוא מאמץ שווא, בזבזני, ועשוי להוביל, כפי שקורה היום, לשנאה כללית כלפי המתמטיקה, ולתרעומת מ ה כ פ י ה מחוסרת המשמעות הנהוגה בבתי-הספר שלנו.
.
מדוע שלא נאמץ את דרכם של מדינות רבות להפריד בין התלמידים לתלמידות כדי למנוע הסחות הדעת. הפילוסופים מלפני שלושת אלפים שנה כבר הבינו שיש סתירה בין רדיפה אחר הערב לחך ובין בקשת החוכמה. הייתי מציע גם לצנזורה חריפה בפרסומות כדי להוציא את הטירוף אחר קנית מוצרים וסיפוק רצונות פחותים ובכך להניח מקום לרצונות ושאיפות גבוהות אשר קימות בכל אדם, אך בכח ולא תמיד בפועל. אשמח לתגובה מאנשים חושבים.
אתר “הידען” נהרס, כי א. עצבר מתגובה מס’ 9, מחריב כל המדעים המדויקים הגיע.
שלום. ראשית אני חושב שזה יפה מאוד שפרופ’ רון אהרוני החליט לעסוק במקביל למחקר אקדמי בשיפור החינוך המתמטי במדינת ישראל ! השאלה מדוע המתמטיקה פועלת בעולם היא שאלה שאין עליה פיתרון מוסכם. זו בעצם אחת החידות הקשר ביותר של המתמטיקה. אני חושב שלימוד מתמטיקה מין הראוי שיכול גם לימוד שיטתי אבל גם ישמר את החיות של הסקרנות של הילדים. זוהי כמובן משימה לא קלה. רון אהרוני החליט לאמץ את שיטת החינוך של סינגפור. אני משוכנע שאלו ספרים מצוינים. אשמח לשתף את משתתפי הדיון במסקנות שלי כפי שהם מופיעים באתר של גן אדם. ( קישור בהקשה על שמי ) אני חושב שתוכלו למצוא שם תשובות גם לשאלה ששאל ויג’ין ויגנר על היעילות הלא סבירה של המתמטיקה.
משה קליין
מורה:
אני חושב שיש בדבריך הרבה.
כאשר נתתי שעורים פרטיים תמיד ניסיתי להבהיר לתלמידים שפתרון בעיה הוא פעמים רבות סדרה של ניסוחים שקולים של נתוני הבעיה, כאשר הניסוח האחרון הוא למעשה התשובה.
קושי זה בהבנת הנקרא גם מתבטא בחלק מן התגובות למאמרי “להיות מתמטיקאי” ומרכזיות השפה בחשיבתנו מוצאת את ביטויה הן במאמר זה והן במאמר “הדיבר הראשון“.
יובל:
המאמר יפה מאד ומסביר היטב מהי מתמטיקה.
עם זאת – אינני יודע על איזו "הוראת מתמטיקה" הוא מדבר ומתלונן. הוא מזכיר שם K-12 – אתה יודע מה זה? אם תיאורו את התוכנית נכון – לא נראה לי שזה מה שנהוג בארץ או שזה היה נהוג בה אי פעם.
מי שלומד מתמטיקה לא לומד נוסחאות.
בדרך כלל מנסים ללמד אותו להבין.
אולי לא תמיד מצליחים (וחלק מן האשם הוא במורים) אבל עוד לא נתקלתי בתלמיד שפשוט למדו אותו בעל פה את הנוסחה לשטח המשולש ולא ניסו ללמד אותו את ההוכחה לכך או אולי אפילו ניסו לגרום לו למצוא אותה בעצמו.
מעבר לכך – כשאתה אומר שהמאמר שכנע אותך ההפך – לא ברור ההפך ממה.
גם המסקנה שלו שהעובדה שלימודי המתמטיקה הם לימודי חובה היא זו שגורמת לבעיות נראית לי בלתי מבוססת ושגויה.
למעשה הוא יכול לטעון באותה מידה שחוק חינוך חובה הוא זה שגורם לאנשים לרצות להיות בלתי מחונכים. סתם שטות.
הגירויים שמסיחים את הדעת כמו טלביזיה ואינטרנט ומשחקי מחשב, הם אלה שמפריעים ללימודים.
המאמר הזה:
http://www.google.co.il/url?sa=t&source=web&ct=res&cd=1&ved=0CAcQFjAA&url=http%3A%2F%2Fwww.maa.org%2Fdevlin%2FLockhartsLament.pdf&ei=kHIRS7ifKYOgmQOrjdTUAg&usg=AFQjCNG45CnNCuc0qLaC9nI8zPhXObN9JQ&sig2=vRGrcQl9OokeS2zxDfK8_w
דווקא שכנע אותי ההפך: חדוות הגילוי חשובה לאין ערוך מצבירת ידע מתמטי לשם מעבר מבחנים.
צריך להשקיע הרבה יותר בהבנה מאשר בלימוד הטכניקה להגעה לפיתרון.
היום הלחץ הגדול הוא לדעת להגיע לתשובה הנכונה ולשם המבחנים מפנים.
אפשר לבחור את התלמידים בשאלות עיוניות על מתמטיקה כמו לאחר חישוב יחס של משולש לשוות אותו למשהו מהעולם המציאותי ושהתלמיד ידע להגיד האם זה יחס גדול יותר או קטן יותר.
שהמתמטיקה תיהיה הגיונית ופרקטית בחשיבה להבין את המגמות של כל דבר את התהליך שעושה הפונקציה. אז באמת התמיד ירכוש כישורי חשיבה מתמטים. הרי אין צורך באמת לדעת לפתור תרגילים בתעשיים אלא להבין את החשיבה ולהתנהל על פיה. אין טעם בידיעה לפתוח נגזרות אם לא מבין מה הפעולה הנגזרת עושה ומה משמעות התוצאה שקיבלנו בעצם.
אני מתערב שיותר ממחצית התלמידים בישראל שסיימו בגרות מלאה לא יודעים מה המשמעות של התוצאה בנגזרת. לא ביחס לפונקציה עצמה ולא ביחס לכל דבר אחר.
אם נתעלם מהמלה "המבהילה" מתמטיקה, ונשתמש במלה המרגיעה "מדידה" נגיע לתוצאות מפתיעות
לימוד מדידה הוא לימוד מעשי מובן, אף על פי שיש בו מספרים.
לאחר שלומדים למדוד מרחקים כמו אורך העיפרון = 21 ס"מ ואורך מקל מטאטא = 147 ס"מ
מבינים מיד את המושג "המפחיד" מספר יחס.
לאחר מכן מציירים משולשים ישרי זווית, ובאמצעות מדידות משיגים את מספרי היחס בין צלעותיהם
שיש להם שמות מפחידים כמו סינוס טנגנס , וכדומה
בשלב הבא אפשר ללמוד את משפט פיתגורס, והשמים הם הגבול.
בקיצור , תורת המדידות היא המפתח להצלחה.
בברכה
א.עצבר
לא בכדי תנאי הפרישה הם קשים מאוד. פשוט אין מספיק מורים טובים למתמטיקה בחוץ.
מאיפה תבוא ההצלחה אם המורה שלמד לפני 30 שנה עדיין ממשיך ללמד ולא מאפשרים לו לפרוש לפנסיה ולהחליפו במורה יותר רענן – תנאי הפרישה הם קשים מאוד ולא מאפשרים למוררה לפרוש אלא אחרי 36 שנים או אולי אחרי מותו
לדעתי משרד החינוך חייב לאפשר פרישה מוקדמת ולפצות את הפורשים ולהכניס להרכב שחקנים צעירים ורענניים ואז תבוא ההצלחה
כדי ללמוד מתמטיקה צריך שתהיה שליטה בקריאה ובכתיבה ובהבנת הנקרא ואי אפשר בלעדיהם
לדעתי 1)צריך לדעת לקרוא היטב ולאחר מכן 2)להבין מה שקוראים – 3) לבנות תוכנית או אסטרטגיה שדרכה נגיע לפתרונות 4) צריך לדעת איך לבדוק את התוצר הסופי (התשובה)
איפה התלמידים שלנו תקועים? ביסודי הם מתמודדים עם הרבה נושאים שוליים ומפספסים את העיקר הרי הוא הקריאה וההבנה- התלמיד גומר יסודי ובקושי יודע קרוא וכתוב ובחטיבת הביניים הוא נדרש ללמוד מתמטיקה ברמה גבוהה שלא התרגל אליה לכן ביסודי מתגלה הכשלון שאי אפשר לתקנו בלימודים רגילים
מנסיוני הרב במתמטיקה לדעתי צריך להשקיע ובגדול בבתי הספר היסודיים ולאחר ההצלחה ביסודי נבנה הצלחה יותר גדולה בחטיבות ובתיכוניים- ((( אין הצלחה בתיכוניים אם אין ביסודיים)))
בסופו של דבר מי שלא רוצה ללמוד לעולם לא יבין מתימטיקה.
מי שרוצה ללמוד קודם כל צריך ללמוד לשבור את הראש.
למה לא להעביר את החינוך המתמטי להדרכה באמצעות מחשב?
אני חושב שחלק מהבעיה בכיתות היא חוסר יכולת של תלמיד לשאול שאלות שחורגות מאי הבנת תרגיל ספציפי, כמו למשל – “המורה, מה זה בעצם סינוס”? “מה עושים עם נגזרתאינטגרל” וכו’. זאת פומקציה של דינמיקה קבוצתית בתיכון מעורבת עם לחץ של מורה שחוק להספיק חומר וקצת בעיות של רמת הוראה.
למה לא להקליט שלבי פתרון לכל תרגיל בחומר הנלמד, לאפשר לתלמידים ללחוץ בכל תרגיל על אפשרויות כמו “הסבר מונחי יסוד” “השלכות מעשיות של החומר הנלמד (למה זה טוב בעצם)” “דרך אחרת לפתור את התרגיל” הסבר של מורה אחר וכו’.
המחשב גם מאפשר לבחון סטטיסטית את הרמה של כל תלמיד כיתה בכל תחום כולל קצב התקדמות – לזהות בעיות פרטניות ולהתריע עליהן ולהשקיע בעקבותן בשיעור פרטי.
בעיני זה גם יכול להוריד את כמות המבחנים הפורמאליים ובכך להוריד את חרדת המתמטיקה.
האם נעשו מחקרים ונסיונות בתחום?
למה שקראת סטנדרטים מקובל לקרוא בפשטות ‘שטנצים’. מלמדים את הילדים כיום ערמות של שטנצים, טכניקות לפתירת שאלות ואין להם מושג שיש אפשרות להבין באמת את החומר, הם מתנסים רק בפתרון טכני ללא הבנה וכך החומר תמיד מפחיד.
אני אתך.
מאמר מעניין, אני רחוק מלהכיר את עולם הלימוד אבל כתלמיד תיכון סבלתי ממתמטיקה ורק בשנות העשרים המאוחרות שלי גליתי זיקה לתחום. הרבה ראשים טובים יש בארץ, חבל שכל כך הרבה מתפספסים.