האם הוצאה של גרגר חול אחד מערמת חול מסוגלת להפוך אותה ללא-ערמה? אם לא – כיצד ייתכן שאם נתמיד להוציא ממנה גרגר אחר גרגר, אף על פי שאף אחד מהם אינו גורם לשינוי בפועל, בכל זאת נישאֵר בסופו של דבר בלא ערמה?
מריוס כהן מגזין “גליליאו”
הפרדוקס
בדומה לפרדוקסים של זנון, גם פרדוקס הערמה הוא פרדוקס עתיק יומין, שהוצג לראשונה במאה ה-4 לפנה”ס על-ידי יוּבּוּלידֶס (Eubulides) ממילֶטוס, שהיה בן זמנו של אריסטו. פרדוקס זה מעלה את התהייה כיצד סדרת שינויים קטנים ובלתי מורגשים מסוגלת להצטבר לשינוי גדול ומשמעותי.
כך, למשל, אם מונחת בפנינו ערמת חול, האם אפשרי הדבר שלאחר הוצאת גרגר חול אחד בלבד ממנה יחדל אוסף הגרגרים להיות ערמה? הדבר נראה בלתי סביר, שכן גרגר חול אחד אינו מסוגל להפוך ערמה ללא-ערמה (וגם להפך: אין זה סביר שתוספת של גרגר חול אחד לאוסף גרגרים, אשר אינו גדול מספיק להיקרא ערמה, יהפוך אותו לפתע לערמה).
אולם, אם לאחר הוצאת גרגר חול אחד מערמת חול, אוסף הגרגרים הנותר מהווה עדיין ערמה, הרי שגם הוצאה של גרגר נוסף ממנו לא תשנה את מעמדו כערמה, וכך גם הוצאת הגרגר הבא, וכן הלאה. אך כאשר נישאר עם מספר גרגרי חול קטן ביותר (נאמר גרגרים בודדים, או אפילו גרגר יחיד), בוודאי שלא נרצה לקרוא למה שנותר ערמה. כיצד ייתכן, אם כן, שהוצאת גרגרי החול מהערמה הפכה אותה ללא-ערמה אם השינוי לא התרחש בפועל אף באחד מהשלבים?
וריאציות על הפרדוקס
פרדוקס זה ניתן להחלה על כל מושג עמום, כלומר, כזה שגבולות החלתו אינם חדים. המושג “ערמה”, למשל, הוא מושג עמום, משום שאין מספר גרגרים מוגדר, שממנו ואילך אוסף גרגרים נתון נחשב לערמה. כך גם המושג “קירח”: אין כמות מדויקת של שערות, אשר אם ראשו של אדם אינו מתהדר בה, הוא נחשב לקירח. על כן אפשר להחיל את הפרדוקס גם על מושג זה: אם נתלוש שערה מראשו של אדם אשר איננו קירח, אין זה סביר שפעולה זו תהפוך אותו לקירח.
כלומר, תלישה של שערה אחת מראשו של אדם שאינו קירח אינה משנה את מעמדו ככזה. אך אם נמשיך בתהליך, בסופו של דבר מספר השערות על ראשו של אותו אדם יהיה כה קטן (למשל, שערה אחת בלבד), שאיש לא יפקפק בקירחותו. ושוב: איך ייתכן שתלישה של שערה אחר שערה מראשו של אדם הפכה אותו מלא-קירח לקירח, אם אף אחת מהשערות הנתלשות לא גרמה בפועל לשינוי זה? (על כן פרדוקס הערמה נקרא לעתים גם “פרדוקס הקירח”.)
באופן דומה, ילד שגדל ביום אחד אינו הופך לפתע לאדם מבוגר (אם אדם נחשב למבוגר מהיום שבו הוא בר-מצווה, או מהיום שבו אין הוא עוד קטין בפני החוק, הרי שהמושגים “ילד” ו”מבוגר” אינם עמומים בהקשרם זה, ועל כן הפרדוקס אינו חל עליהם, אך אנו מתייחסים כאן למושגים “ילד” ו”מבוגר” בהקשרם הביולוגי העמום). אם כן, כיצד ייתכן שחזרה מרובה על פעולה זו (גדילה ביום אחד) מביאה בסופו של דבר לַשינוי? הילד הופך לאדם מבוגר אף שאי-אפשר להצביע על יום מסוים בחייו שבו אירע שינוי זה.
הבעיה הלוגית
את פרדוקס הערמה אפשר לנסח גם כטיעון שרשרת, שלו המבנה הזה (שבו כל אות מייצגת טענה):
הנחה 1: A
הנחה 2: אם A אז B
הנחה 3: אם B אז C
………………………..
הנחה אחרונה: אם Y אז Z
מסקנה: Z
אם כל אחת מהנחות הטיעון היא אמיתית, הרי שגם מסקנתו אמיתית, כלומר, זהו טיעון תקף. הדבר נובע מכך שאם שתי ההנחות הראשונות בטיעון אמיתיות, אפשר להסיק שגם טענה B אמיתית (מהלך לוגי זה נקרא בעגה המקצועית מוֹדוּס פּוֹנֵנְס). אם גם ההנחה השלישית אמיתית, הרי שבצירוף אמיתותה של טענה B אפשר להסיק שגם טענה C אמיתית, וכן הלאה. ניסוחו של פרדוקס הערמה כטיעון שרשרת נעשה כך:
הנחה 1: מיליון גרגרים מהווים ערמה
הנחה 2: אם מיליון גרגרים מהווים ערמה, אז גם מיליון חסר אחד גרגרים מהווים ערמה
הנחה 3: אם מיליון חסר אחד גרגרים מהווים ערמה, אז גם מיליון חסר שניים גרגרים
מהווים ערמה
…………….
ההנחה המיליון: אם שני גרגרים מהווים ערמה, אז גם גרגר אחד מהווה ערמה
מסקנה: גרגר אחד מהווה ערמה
ההנחה הראשונה בטיעון היא אמיתית (אם אינכם סבורים כך, התחילו את הטיעון ממספר גדול יותר של גרגרים), וכל שאר ההנחות אמיתיות על בסיס ההנחה שהוצאת גרגר אחד מהערמה אינה יכולה להפוך אותה ללא-ערמה. אבל מאחר שכל ההנחות בטיעון שרשרת זה הן אמיתיות, נובע שגם מסקנתו אמיתית, וזאת בניגוד לעובדה שאיש לא יכנה גרגר חול אחד “ערמה”. אפשר כמובן לטעון שעצם העובדה שמסקנת הטיעון היא שקרית בעליל מצביעה על כך שלפחות אחת מהנחות הטיעון אף היא שקרית, אולם פירוש הדבר הוא, שקיים מספר מסוים n של גרגרי חול (או שערות). אוסף של n גרגרי חול כן מהווה ערמה (ואדם עם n שערות לראשו עדיין איננו קירח), אוסף של n-1 גרגרי חול כבר איננו ערמה (ואדם עם n-1 שערות לראשו כבר נחשב קירח), והדבר נראה לחלוטין בלתי סביר.
ניסיונות לפתור את הפרדוקס
רבות נכתב על פרדוקס זה, ומספר הניסיונות שנעשו לפתור אותו הוא עצום, אך לא קיים פתרון אלגנטי המוסכם על הכל. אציג אחדים מניסיונות אלו, ומראש אציין שככל השאר, גם הם שנויים במחלוקת.
פתרון הלוגיקה העמומה: הלוגיקה הקלאסית אינה מסוגלת לטפל במושגים עמומים. הלוגיקה הקלאסית עושה שימוש בשני ערכי-אמת בלבד: “אמת” ו”שקר”. כלומר, טענה יכולה להיות או אמיתית או שקרית, אבל לא לקבל ערכי ביניים ולהיות, למשל, “לא לגמרי אמיתית, אבל גם לא לגמרי שקרית”. ואולם, טענות חלוּת של מושגים עמומים כגון “ערמה”, “קירח”, “ילד” ורבים אחרים אינן יכולות להשתייך לקטגוריה זו.
אנו לא תמיד בטוחים אם אוסף גרגרים נתון ראוי להיקרא ערמה; יש אנשים שנאמר עליהם שהם אמנם לא ממש קירחים, אבל הם די קרובים לזה; ולגבי נערים בתחום גילים די רחב אנו נאמר שאין זה נכון לכנותם “ילדים”, אף כי אין הם עדיין מבוגרים במלוא מובן המילה. אם כן, אדם יכול להיות קירח לגמרי, קצת קירח, לא כל-כך קירח ובכלל לא קירח, ועל כן הטענה “אדם זה הוא קירח” יכולה שלא להיות אמיתית אך גם לא שקרית, ומן הראוי לאפשר לה לקבל ערכי ביניים בין אמת לשקר.
לוגיקה כזו, העושה שימוש בדרגות שונות של אמת, נקראת לוגיקה עמומה, והפונים אליה כדי לפתור את הפרדוקס יגידו שהטענה “n גרגרים מהווים ערמה” אינה תמיד או אמיתית או שקרית, אלא בעלת דרגת אמת התלויה ב-n, כלומר, במספר הגרגרים באוסף (ככל שמספר הגרגרים גדול יותר כך דרגת האמת של הטענה גבוהה יותר). מכאן שגם לכל אחת מההנחות בטיעון השרשרת שהצגנו לעיל יש דרגת אמת שונה.
להנחה “אם מיליון גרגרים מהווים ערמה אז גם מיליון חסר אחד גרגרים מהווים ערמה” יש אמנם דרגת אמת גבוהה, אך להנחות הבאות אחריה יש דרגות אמת הקטֵנות בהדרגה (והתלויות בערכי-האמת של מרכיביה), ועל כן הטיעון כמכלול אינו מוביל למסקנה שגם גרגר אחד מהווה ערמה. אם כן, המעבר מ”ערמה” ל”לא-ערמה” אינו קורה בבת-אחת, אלא באופן הדרגתי, והפרדוקס נוצר רק כאשר מנסים להחיל (ובאופן בלתי ראוי) את הלוגיקה הקלאסית על מושגים עמומים.
לא כל ההנחות בטיעון השרשרת אמיתיות: ישנם אוספים של גרגרים שנתקשה להחליט אם הם ראויים להיכלל במושג “ערמה” (או אנשים שנתקשה להחליט לגביהם אם הם קירחים או לא). אולם, אם ידחקו בנו לבחור בין שתי החלופות: “ערמה” או “לא-ערמה” (“קירח” או “לא-קירח”), הרי שקיים מספר מסוים של גרגרים (של שערות), שלגביו נקבע, אף כי בהיסוס רב, שהאוסף הוא ערמה (האדם איננו קירח). לאחר הוצאת גרגר אחד מהאוסף (תלישת שערה אחת), ניאלץ לקבוע, ושוב בהיסוס רב, שמה שנשאר לפנינו כבר איננו ערמה (אדם זה הוא קירח עכשיו).
אמנם, מספר מסוים זה של גרגרים (שערות) עשוי להשתנות מאדם לאדם ואף מניסוי לניסוי עבור אותו אדם, אך המעבר מערמה ללא-ערמה (מלא-קירח לקירח) אכן קורה באחד משלבי התהליך. העובדה שנראה לנו בלתי סביר שהוצאה של גרגר אחד (תלישה של שערה אחת) עשויה לגרום לשינוי בתפישתנו את חלות המושג נובעת מכך, שמתוך מספר האפשרויות העצום קשה לנו לדמיין את המספר המדויק של גרגרים (שערות) שיביא אותנו לשינוי בתפישה, בייחוד לאור העובדה ששינוי זה הוא כה זעיר שקביעתנו מלווה בהיסוס רב.
הסבר שני המרכיבים: כאשר מוציאים מערמת חול גרגר אחר גרגר, ואנו נדרשים בכל שלב לקבוע אם אוסף הגרגרים שנותר הוא עדיין ערמה, אנו עושים זאת על בסיס שני מרכיבים הכרתיים: המרכיב האחד הוא השוואת אוסף הגרגרים הנותר לתפישתנו הסובייקטיבית את המושג “ערמה”, והמרכיב האחר הוא השוואת אוסף זה למצבו בשלב הקודם, טרם הוצא ממנו הגרגר האחרון. ההנחה “אם n גרגרים מהווים ערמה אז גם n-1 גרגרים מהווים ערמה”, היא אמיתית ביחס למרכיב השני בלבד. כלומר, טיעון השרשרת תקף משום שכל אחת מהנחותיו היא אמיתית ביחס למרכיב ההכרתי השני: השינוי משלב לשלב הוא כה זעיר עד שאיננו מסוגלים להבחין בו.
אולם, מאחר שקביעתנו בפועל מושפעת גם מהמרכיב ההכרתי הראשון (השוואת מצב האובייקט לתפישתנו הסובייקטיבית את המושג), ייתכן שבהגיע מספר הגרגרים לכמות מסוימת, נקבע ביחס לתפיסתנו את המושג “ערמה”, כי אוסף הגרגרים כבר אינו “ערמה”.
35 תגובות
ברור שזה עניין של הגדרה, והגדרה היא עניין של צורך תרבותי. מתי “קרח רך” רך הוא “קרח” ומתי הוא “שלג”? אנחנו לא מבדילים. לאסקימואים, שעבורם הקרח הינו חומר בנייה חיוני, יש תשע שמות שונים לסוגי השלג והקרח. אם היה חיוני עבורנו להגדיר מצבי “ערמה” שונים, הפרדוקס – שהינו תוצר של עמימות השפה – לא היה קיים
ובאותו עניין – האם הקרח שמסרק את שערותיו בשיטת “החיסכון וההלוואה” – מהעורף לכיוון המצח, הוא קרח או לא?
אם נשטח מליון גרגרי חול הם לא יקראו ערימה
אם ניקח עשרה אבנים גדולות ונסדר אותם בצורת פירמידה היא תיקרא ערימה
מכאן ערימה היא מעין פירמידה המורכבת משכבות מישוריות לא סימטריות
נעם:
מי שהציג את זה לראשונה כבעיית הגדרה זה אני (ראה תגובה 4 ואילך).
אני עדיין חושב שזו בדיוק הבעייה.
כל ההגדרות בעולמנו הן שרירותיות ואפשר אפילו להתווכח אם מוצדק לקרוא דווקא לספל בשם "ספל".
הלוגיקה עובדת רק על מונחים מוגדרים ואם רוצים להשתמש בה – אין מנוס מהגדרות.
כשמדובר בהפעלת לוגיקה על מונחים שלא הוגדרו במדוייק – עדיין יש מקום לפתרון הבעיה באמצעות הגדרה מדוייקת המבוססת על סטטיסטיקה (למשל על ידי זה ששואלים אנשים רבים מהו מספר הגרגרים המינימלי שהם יראו בו ערמה ואימוץ החציון כהגדרה. זה פותר, כמובן, את שאלת ההצדקה שהעלית).
המשתמש האנונימי זה אני…
ישעיה עבד השם
ניראה לי שלא כל כך פשוט להתחמק מהפרדןקס.
נניח לצורך העניין, שנגדיר ערמה כ-10,000 גרגירים ומעלה. לכאורה הפרדוקס נפתר – ברגע שיורדים ל-9999 גרגירים – אין ערימה.
אלא שכאן תבוא שאלה פשוטה:
מה ההצדקה להגדרת 10000 גרגירים כערימה, וגרגיר אחד פחות זה כבר לא ערימה.
זה ניראה הגדרה שרירותית לחלוטין, שלא בטוח שמסדירה את העניין.
הפרדוקס נופל תחת the tyranny of the discontinuous mind.
הנה דעתי על הפרדוקס, ולממציא הפרדוקס- כדאי שתעצום עיניים:
הם מנסים לבלבל אותנו? הם מבלבלים את עצמם! להלן העובדות מחדש:
1,000,000 גרגרים: ערימה.
1,000,000-1 גרגרים: ערימה.
כעבור 1,000,000-2 שנה: לא. (לפי נקודת ראותי, אולי אחרים חושבים שמינוס גרגרים זה ערימה..)
בקיצור: מיליון? ערימה. -3,000? לא ערימה. וואו, איזה פרדוקס!
שטויות בחיי. סתם התחכמות לשונית.
יש לך ערימת גרגירים. הוצאת גרגר, יש לך ערימה קטנה יותר. הוספת גרגר, יש לך ערימה גדולה יותר. "ערימה" היא לא קבוע מתמטי.
גם הדוגמא של השערות לא במקום. אם תלשת שיערה האיש לא יהיה קירח, אם תתמיד בתלישת שערות רק תקבל מכות מהאיש ואולי אתה תהיה קירח.
לתדהמתי אני נאלץ להסכים עם יריבי האידאולוגי מיכאל (אלא אם כן לא מדובר במיכאל ר. לשעבר) – ברור שכדי לבדוק התקיימות של תנאי (“האם ערימה”) אני חייב להגדיר מראש את התנאי, לפחות ברמה של טווח ערכים. אחרת, מה שיש לנו, הוא לא סוגיה בלוגיקה, אלא פשוט ניסוי חברתי – מהי כמות הגרגרים הקטנה ביותר שמדגם אקראי של אנשים יהיו מוכנים להגדיר כ”ערימה”. אבל, אם תרשו לי לנסות לפתוח כאן כיוון חדש לרגע, רציתי לשאול – מדוע לא להמשיך הלאה? הלא אם גרגר אחד עונה על התנאי (נתעלם לרגע מבעיית חוסר ההגדרה), מדוע לא חצי גרגר? ואם חצי גרגר, מדוע לא רבע וכו’ ובקיצור, נקבל שגודלה המינימאלי של ערימה שואף לאפס. מהבחינה הזו זה אולי דומה לפרדוקס הקלאסי של זנון.
אבל רגע רגע רגע…זה ניראה כאילו הוא נתקע בקטנות הכל תלוי על איך הבן אדם מגדיר ערמה…אם ערמה מבחינת מילון או אנציקלופדיה זה אומר שיותר מחפץ אחד שמונחים בקרבה מסוימת אחד לשני זה כבר ערמה אז כן שים שני גרגרי חול יש לך ערמה כך אחד כבר אין לך תוסיף אחד שוב יש לך ואפילו אם זה לא ההגדרה עדיין יש סף מסויים שאותו אינדבדואל שמערים את הגרגירים אחד על השני יחליט שזהו זוהי ערמה…אתם ניכנסים לשפה?! לביטוי ? למובן?…כי כל מה שבעצם אומרים פה שיש נתון וכל צעד קדימה לא ישנה את הנתון אבל שוב זה הכל תלוי בהגדרה סתם דוגמא מפגרת…תודה תתמקדו רגע כל המילה תודה תתעמקו אבל ממש בצליל במובן ותעצרו ותחשבו רגע…מה זה לעזעזללל מי הפליץ את הרצף צלילים הזה והחליט שזה אומר מילת הבעה חיובית ואז אם תירצו יותר תוכלו להיכנס אפילו עמוק יותר שני אנשים כל החיים שלהם היו ביחד למדו הכל ביחד הכל אותו הדבר אחד איוור צבעים שרואה שחור לבן והשני לא עכשיו בין כל הגוונים בעולם יש הבדלי מרקם וחוזק ז"א ורוד בשחור לבן לא יראה כמו צהוב..צריך כושר הבחנה מסוימת אבל היה לו את כל חיים שלו לתרגל את זה בחוסר ידיעה כמובן עכשיו תחשבו רגע אני והוא מסתכלים ביחד על צבע שתינו יודעים איך קוראים לצבע אבל מי אמר שזה מה שאנחנו רואים?!…מי אמר שזה לא ירוק ?..או לבן?…או אדום??….בסופו של דבר כל הפארדוקסים חסרי הביסוס המתמטי והפיזקלי הם סתם עיוות של הידוע מראש שאתה מנסה להתעמק על משהו שלא נועד להתעמקות ואז אתה מוצא את החורים במערכת ואתה פשוט קולט שאתה בן אדם, לא יותר ולא פחות מקוף קירח אז בבקשה עזבו אותכם משטיות כאלו ותלכו ללמוד דברים יותר נחוצים..לכולנו
יעקב:
אתה סתם מתנשא ומחמיץ את הנקודה.
נראה אותך מגדיר "אדום" בהגדרה של ילדים.
פילוסופיה בחור של הגרוש.ולמה ?
גרגר-נקרא גרגר.
2 גרגרים-נקראים ערמה.
שהינו קטנים,היינו משחקים בהפלות ואז כשהיו נופלים ילדים אחד על השני,היינו קוראים לזה ‘ערימת ילדים’,זה היה לפחות ששני ילדים שכבו על הריצפה.
ותמיד טענתי שחוכמה צריך ללמוד מילדים..המבוגרים רק מסבכים את העניינים.
יעקב
המום:
לדעתי אתה טועה.
אני יודע שלוגיקה עמומה קנתה לה אחיזה במחוזותינו אבל אני עדיין חושב שזו פשוט הסתברות לעצלנים.
כאשר דוחים את ההתמודדות עם המציאות כל מה שמשיגים זו הגדלת השרירותיות בהחלטה הסופית.
אין כל בעיה להגדיר "אדום" ואני מבטיח לך שכל הגדרה כזו (שלא תתבסס על אורכי גל כי "אדום" אינו אורך גל וגם לא טווח אורכי גל – אלא, למשל, על יחסים בין רמות עירור של שלשה מדוכים סטנדרטים), תשרת אותנו לא פחות טוב מכל הגדרה עמומה.
אינני טוען שזה תמיד נכון להיות חרוץ ולתת הגדרות הסתברותיות.
לפעמים זה לא שווה את המאמץ ועדיף להשתמש ב"הסתברות לבטלנים", אבל מבחינה עקרונית ברור שהגדרות הסתברותיות תעבודנה בסופו של דבר טוב יותר.
הטענה עם המספרים הרציונלים ממש משונה כי היא כלל לא מייחדת חישובים הסתברותיים.
האם גם באנליזה נומרית שמקרבת התנהגות של מערכות פיזיקליות אסור, לדעתך, להשתמש?
לוגיקה עמומה משתמשת ביסודות מ Evidence Theory ובשל כך היא כוללת בתוכה את תורת ההסתברות. שימוש בהגדרה מדויקת ובפונקציות פילוג גורם בהכרח לשגיאות חישוביות (כמו להשתמש במספרים רציונלים בחישובים כי אין כזה דבר מספר אי-רציונלי). לכל אלו שהודיעו כי ניתן להגדיר היטב את בעיית הערימה, כיצד הייתם מגדירים למשל צבע אדום? (אורך גל יחיד? טווח של אורכי גל? יש למערכת הראייה האנושית אפשרות להבדיל בתדרי אור ברזולוציה כזאת טובה?) ולמרות ההגדרה העמומה, אנו משתמשים בהגדרות הצבעים כמעט ללא בעיות מיוחדות. כל מודל הסתברותי יכלול בתוכו מידע חסר או מידע שגוי ולכן בהכרח שגיאה. לוגיקה עמומה מתאפשרת להתעלם מהשגיאה עד לחישוב האחרון בו חייבים לחזור לעולם האמיתי.
יכול להווצר מצב ביניים קצת בעייתי:
נניח יש 9 גרגירים והם ערימה. 6 גרגירים הם "ערימה בהיסוס רב" ו-4 גרגירים הם "לא ערימה בהיסוס רב". ומה עם 5 גרגירים? האם הם "גם ערימה וגם לא ערימה בו-זמנית", או שהם "לא ערימה, ולא לא-ערימה"? או שהם בכלל החתול של שרדינגר?
המשך יום נעים.
חברה, אתם משועממים. אפשר לנצל את הזמן לשטויות אחרות.
והנה בא אינסוף ומדגים כמה מדוייקת היתה טענתי שהכל פה בעצם עניין של הגדרה.
ולחקלאי הפיקח – אני מציע שתקרא מה שכתבתי על נושא הלוגיקה העמומה.
לדעתי אני היחיד שבכלל דבר עליה ולא טענתי שאין לה יישומים. אמרתי רק, ואני חוזר ואומר, שבכל מקום בו משתמשים בלוגיקה עמומה זה רק מפני שמתעצלים לתרגם את הבעיה למונחים הסתברותיים.
בסופו של דבר אני מעריך ששכר העצלות יוצא בהפסדה כיוון שבשעה שבהסתברות יש חוקים ברורים בשאלה איך ניתן, למשל, לחשב את היסתברותה של התקבצות של מספר מאורעות הרי שבלוגיקה עמומה יש בעניין זה רק עמימות.
גם גרגר אחד הוא ערמה, ערימה של מולקולות שגם הן ערמות של אטומים שגם הם ערימה של חלקיקים תת-אטומיים שגם הם ערימה של מיתרי אנרגיה רוטטים שגם הם ערימה של משהו שהמדע עדיין לא יכול לדעת וכך עד אינסוף
הערה לבעלי הכלבים כדאי תמיד לזכור לאסוף את הערמה
מדובר בבעית התכנסות. זה פרדוקס רק אם בוחרים להתקע בטיעוני שרשרת אין סופיים. כידוע כל טור שידוע לנו שהוא מתכנס אפילו אם הוא אין סופי מהירות התכנסותו תלויה בתבנית הטור. בדרך כלל הוספת ממדים נוספים מאפשרת לראות בקלות את דרך ההתכנסות. כמו למשל פאיי. אם נתייחס לכל אחד מהספרות כגרגר מהערמה אז יש אין סוף. אבל פאיי הוא סופי בדיוק כמו הערמה נשאר לראות כיצד היא מתכווצת.
את פאיי ניתן לכתוב בלפחות 20 טורים שונים שמתכנסים רובם נגזרות כאלו ואחרות של פונקצית זטה.
בברור שטיעון השרשרת איננו אין סופי אם הוא למעשה העתקה של איבר אחד או תת קבוצה של אחד מהטורים. נותר לבדוק האם כל הטורים הללו מהוות חבורות איזומורפיות והאם ניתן להגדיר חבורה של פרדוקסים מהסוג הזה ולבדוק אם הם מהווים תת חבורה.
את הערמה עצמה ניתן לחלק לערמות בסדר בינארי כך שנקבל ערמה מאד קטנה מאד מהר. וניתן גם ללכת בכיון ההפוך, כלומר לקחת גרגר מערמה אחת ולהניח אותו על משטח נקי. ולראות האם נמות משעמום קודם שתווצר ערימה למעשה אוסף מספיק שנוכל לכנות בשם ערימה.
אני מניח שהמאמרים הללו מיועדים במיוחד לעונת המלפפונים.
במאמר הבא תבדקו מתי הצבע מתייבש כשמדפיסים אותו N פעמים על אותו העמוד. ואחר כך בטור יורד או עולה כרצונכם.
אתם מפספסים את הנקודה לא מדובר בשאלה פילוסופית. ללוגיקה העמומה אין ספור ישומים במערכות קבלת החלטות, בינה מלאכותית ועוד… מכוון שבחיים האמיתיים אין שחור ולבן הכל אפור, פותחו פונקציות רבות להגדרת "גבולות אפורים" שכאלו.
פרדוקס דומה הוא פרדוקס ה"עירומה".
להלן ה"פרדוקס" :
בחורה עירומה, ע"פ ההגדרה שבחרתי אני,היא בחורה שכל גופה חשוף, ללא כיסוי. עכשיו נניח שבחורה עירומה, ענדה על אצבעה טבעת נישואין. כעת כבר לא כל גופה חשוף, הטבעת מכסה קטע קטן של גופה. האם עדיין תיחשב כעירומה ?….תלוי את מי שואלים, ומהי הגדרת ה"ערומה" שלו.
כמובן שניתן להמשיך ולפרט את הדוגמא לפריטי לבוש נוספים ורבים כגון : עגילים, גרביים, כסיות, משקפיים, כובעים ועוד ועוד…
התשובה לשאלה אם הבחורה עדיין עירומה, איננה תלויה אם כן,במפרט הכיסויים העוטים על גוף האשה אלא, בהגדרה שכל אחד ואחד יתן למושג "עירומה".
לדעתי "פרדוקס הערימה" אינו פרדוקס לוגי וגם לא פרדוקס מתמטי. זהו פסאודו-פרדוקס, דהיינו פרדוקס מדומה, המבוסס
על עיוות בהבנת המילה שהיא נושאת שם הפרדוקס. במקרה הנדון- פירוש המילה "ערימה". דהיינו זה "כאילו פרדוקס" הנובע מאי תאימות ביין המשמעות, המוגדרת בשפה,של המושג לבין הפרוש האסוציאטיבי שהמילה מעוררת במוחם של רבים מהאנשים השומעים או קוראים אותה.
במקרה שלפנינו, הפירוש האמיתי נובע משרש המילה- "ערם". דהיינו עצם כלשהו
המונח על עצם אחר הנמצא תחתיו. למשל, ניתן לערום את הכסא על השולחן.
מכאן שערימה מורכבת משני עצמים, או יותר. וזה פתרון הפסאודו-פרדוקס.
ואולם בהקשר האסוציאטיבי רואים רוב האנשים, בחושבם על המילה "ערימה"
מן גבעה קטנה הכוללת הרבה מרכיבים קטנים, שקשה לספור אותם, כגון ערימת חצץ או ערימת חול וזה מקור הפרדוקס.
זה ברור שקודם כל צריך להגדיר את המושג במדובר (במקרה שלנו- ערמה) ורק לאחר מכן לבדוק אם שינוי שעשינו עדין מותיר אותנו במסגרת ההגדרה.
נניח אני מגדיר קבוצת גרגרים מ 10 גרגרים ומעלה כ"ערמת גרגרים". ברור לי שאם אחרי שינוי שעשיתי בערימה, אם עדין נותרו לי 10 גרגרים או יותר אזי נותרתי עם ערימת גרגרים אבל אם לאחר השינוי נותרתי עם פחות גרגרים אזי נותרתי בלי ערימה. הכל תלוי כיצד היגדרתי את המושג:- "ערימת גרגרים".
ורק למען הסדר הטוב, במקרה של ערימות אין סופיות המצב קצת שונה.
נניח אני מגדיר קבוצה אינסופית של מיספרים כ"ערימת מספרים".
ניקח כעת את קבוצת כל המספרים הטבעיים , הרי לפי הגדרתינו היא קבוצה אינסופית של מספרים ולכן היא "ערימת מספרים" כעת כל פעם שנסיר מספר טבעי מהערימה זו עדין ניוותר עם ערימה. וגם אם נחסיר קבוצה אינסופית ערמת המספרים הטבעיים אנו עשוים להיוותר עם ערימה, לדוגמא, אם נסיר את כל הזוגיים מהטבעיים ניוותר עדיין עם "ערמת מספרים".
צהרים טובים
סבדרמיש יהודה
ערן:
אתה מאמץ את דברי בדיוק ומספק הגדרה משלך למונח ערמה.
עליך להסכים עם העובדה שכיוון שההגדרה שבה השתמשת אינה מופיעה במילון יהיו אנשים שיטענו שגם גרגר אחד הוא ערימה ויהיו אנשים שיטענו שגם 10 גרגרים אינם ערמה.
לכל אחד יש זכות להגדיר את הערמה כרצונו.
הדבר היחיד שאין לו זכות לעשות זה לא להגדיר ולצפות לתוצאות מוגדרות.
אין כאן שום פרדוקס אני לא מבין מה עושים פילוסופיה שלמה מהשטות הזו!
גרגר אחד הוא לא ערימה.
2 גרגרים מהווים את הערימה הקטנה ביותר האפשרית.
3 גרגרים זו ערימה קצת יותר גדולה.
4 גרגרים הם ערימה עוד יותר גדולה…..
וכך הלאה והלאה….. אין כאן שום פרדוקס רק ערימה של שטויות.
הערת אגב:
המחבר, אגב, עמד בעצמו על העובדה שהבעיה נובעת מעמימות ההגדרה אבל התעקש לנסות בכל זאת להפעיל עליה את חוקי הלוגיקה וכאילו הופתע מכך שהתוצאה עמומה.
זה כמו שניקח את פעולת החיבור שהיא מוגדרת ואמורה לתת תוצאות מדויקות ונתלונן על כך שאיננו יודעים כמה הם 5+X כאשר X הוא מספר השערות שהיו על ראשו של אולמרט ביום הוולדו.
הורדת תוכנות:
לא הבנת את דברי.
כשדיברתי על פרדוקס הערמה ספציפית דברתי על העובדה שהבעייה נובעת מאי הגדרת המונח ערמה במדוייק. הגדרה מדוייקת של המונח (נאמר 712 גרגירים ומעלה) תעלים את הפרדוקס.
על נושא הסטטיסטיקה דברתי כשהסברתי מה לדעתי פסול בלוגיקה העמומה.
אתה פשוט עשית סלט מן הדברים.
מה עם האפקט המצטבר שהופכים ערימה לאי-ערימה?
אין בזה שום קשר לסטטיסטיקה.
השאלה מה אתה בתור בן אדם ספציפי מגדיר ערמה, ומתי בדיוק נחשב המעבר ל"ללא ערמה". הכותב לפי דעתי נתן תשובה טובה, שגם אני חשבתי עליה.
בברכה
יוני
לדעתי לא מדובר כאן בפרדוקס אמיתי אלא בכזה שנובע מתוך עצלות.
אני מתעצלים להגדיר במדוייק כמה אלמנטים יש בערמה ואחר כך צועקים געוואלט כשבהיעדר הגדרה איננו יכולים להסיק מסקנות.
אינני אומר שחייבים להגדיר ערמה במדוייק – אני רק אומר שאין לצפות מהגדרות בלתי מדוייקות שתאפשרנה לוגיקה מדוייקת.
בעיני, אגב, כל העניין הזה של לוגיקה עמומה זה פשוט הסתברות לעניים או – שוב – באופן מדוייק יותר – הסתברות לעצלנים.
כשיש מילה שאינה מוגדרת במדוייק עדיין יש סטטיסטיקה שאפשר לעשות ולברר מה ההסתברות שאדם יאמר על צבר אלמנטים בגודל מסויים שהוא ערימה ואז לומר שמדומר בערמה בהסתברות X.
מתעצלים לעשות את הסטטיסטיקה ובמקום זה מתחילים לדבר על לוגיקה עמומה.
לא יודע, זה נראה לי פשוט כמו הוכחה באינדוקציה שלא עובדת בגלל ששכחו להוסיף את הבסיס..
המושג "ערימה", כמו שאר המושגים, מציין הלך רוח, ולכן חסר משמעות לוגית לחלוטין.
לכן כל הפרדוקס הזה לא קשור כלל ללוגיקה אלא למדעי הרוח (או החברה).
כיף לקרוא. לוגיקה דיפרנציאלית.