פרקטלים וההשלכה המעשית של המתמטיקה

הכל מסביבנו – ההרים, העננים, קווי החוף – הם פרקטלים. בנואה מנדלברוט, שנפטר לפני כחודש בגיל 85, מסביר בראיון משנת   1983מה משמעות תגליתו

שנה אחרי שמנדלברוט יצא עם ספרו The Fractal Geometry of Nature הפרקטלים כבר הלהיבו את המתמטיקאים. ב-1983 המתמטיקאים ישבו מול המחשב והציצו בצורה שחורה מוזרה שהופיעה על המסך. המחשב לא היה מה שהוא היום: מסך LCD שטוח, הי דפינישן ורזולוצית צבעים מדהימה, או מסך תלת ממד. מי חשב על דבר כזה בכלל. מדובר היה במסך שחור-לבן סטנדרטי, או יותר נכון, מסך ירוק-לבן מהסוג המוכר למתמטיקאים שעבדו באותם שנים. הכתם השחור, שהפיק תותח האלקטרונים והופיע על גבי אותו המסך, נראה כתמונה של משהו, אבל לא ידעו בדיוק של מה. הוא נראה משהו לא שלם וחולני, שממנו יוצאים זיפים, גבעות וכל מיני בליטות ותוספות של צורות. התוספות עצמן נראו כמו פריחות מוזרות. הצורה קבלה את השם “קבוצת מנדלברוט”.

בנואה מנדלברוט שוחח ב-1983 עם עיתונאי בשם אד רג’יס. להלן תוכן דבריו של מנדלברוט מאותה שיחה מ-1983. הוא סיפר לרג’יס שהוא יצר את קבוצת מנדלברוט, המציא “את הקבוצה”, כפי שאמר והוא הוסיף, “יש לי הכבוד לשאת את שמה”. בנוסף, ולא פחות חשוב כמובן, מנדלברוט החל באותה תקופה בתחום החדש במתמטיקה שקרוי פרקטלים או גיאומטריה פרקטלית. הפרקטל הוא עצם שהצורה שלו היא לא חלקה, כמו קו, עקומה, או משטח; אלא קו לא סדיר, שבור בכל סדר גודל. מנדלברוט אמר, “אני נתתי את השם פרקטל משם התואר הלטיני פרקטוס”. מנדלברוט הסביר באותם שנים ש”הפועל הלטיני פרנג’ר פירושו ‘לשבור’: ליצור שברים לא סדירים”. בשנת 1983, כמה אנשים במכון ללימודים מתקדמים בפרינסטון חשבו שהפרקטלים הם העתיד של המחקר.

רג’יס מספר שמנדלברוט ביטא את המניפסטו שלו בשנות השמונים: “עננים הם לא כדורים, הרים הם לא חרוטים, קווי חוף הם לא מעגלים, וקליפות הן חלקות, גם ברק לא נע בקו ישר. באופן כללי, אני טוען שצורות רבות בטבע הן כל כך בלתי סדירות ושבירות, שלעומת אוקליד – הגיאומטריה הסטנדרטית – הטבע אינו מציג רק רמת סיבוך גבוהה יותר, אלא רמת סיבוך שונה לגמרי”.

מנדלברוט סיפר לרג’יס שבעודו במכון ללימודים מתקדמים בפרינסטון כפוסט דוקטורנט צעיר בשנות החמישים, מנדלברוט הסתובב בקמפוס כדי לראות את המחשב של פון נוימן. פון נוימן תכנן ובנה מחשב במכון. אבל מנדלברוט לא ידע עדיין איך להשתמש במכונה, ולכן הוא לא התעסק עם המחשב. העסק שלו עם המחשב החל מאוחר יותר, כאשר הוא גילה את הפרקטלים בעודו ביב”ם בניו יורק.

מוקדם מאוד בקריירה שלו מנדלברוט שאל את עצמו, “מה האורך של קו החוף של בריטניה?” התשובה שלו הייתה, שלמעשה אין תשובה בודדה שהיא נכונה. הכל תלוי בסקאלה שבה בוחרים למדוד וגם בסטנדרט המדידה שבו בוחרים. אם נוטלים מפה ומודדים את המרחק בין הקצה הצפוני לדרומי של בריטניה, נקבל הערכה גסה של אורך קו החוף. אולם אם נלך לאורך החוף בין אותן שתי הנקודות בדיוק, נקבל תשובה אחרת לגמרי. זאת כי אנחנו נחצה את החוף ונלך לאורך כל בליטה ומפרץ קטן בחוף. אילו היינו נמלה זעירה שהולכת לאורך החוף עדיין היינו הולכים לאורך מסלול יותר ויותר בלתי סדיר ולפיכך היינו מודדים מרחק הרבה יותר גדול בין שתי הנקודות הצפונית והדרומית. ולו היינו מיקרוב המרחק היה עוד יותר גדל וכך הלאה….

באותה תקופה מנדלברוט חשב שיש לכך השלכות לגבי מדידות שטחי מדינות, “אורכי הגבולות בין ספרד לפורטוגל, או בלגיה והולנד, כמדווח באנציקלופדיה של השכנות האלה, שונים ב-20 אחוז”. מנדלברוט אמר בשנות השמונים, “לא נתפלא אם מדינה קטנה (פורטוגל) תמדוד את גבולותיה במדויק יותר מאשר שכנתה הגדולה”. מזל שהוא לא הכיר את הסכסוכים במזרח התיכון…

אם נשוב למתמטיקה, ההבדל בין הגיאומטריה האוקלידית לזו הפרקטלית הוא בעניין הממד. בגיאומטריה הקלאסית הממדים מבוטאים במספרים שלמים ולקו ישר יש ממד 1, משטח מישורי הוא בעל ממד 2, ואילו מוצק הוא בעל ממד 3. אבל פרקטלים הם הרי שבורים ובעלי קצוות שבורים ולכן בעלי ממדים שהם שברים, כמו למשל 1.67, 2.60 וכדומה. מנדלברוט יצר פתולוגיות כאלה בעודו עובד ב-יב”ם. “המצאתי משוואה מתאימה”, אמר מנדלברוט לרג’יס, “וב-1973 הרכבנו פלוטר מאוד מגושם כדי ליצור קווי חוף מלאכותיים. … לפעמים היינו צריכים לשבת כל הלילה עם הפלוטרים. אבל כאשר קו החוף הראשון לבסוף הופיע, אנחנו כולנו נדהמנו. הוא נראה בדיוק כמו ניו זילנד! כאן היה אי מוארך, שם כזה מרובע, והלאה מאחד הצדדים, שני קוצים שהיו דומים לאי באונטי… לראות אותם זה היה אפקט מחשמל על כולם… עכשיו, אחרי שראינו את התמונות של קו החוף, כולם הסכימו איתי שפרקטלים היו חלק מהחומר של הטבע”.

המתמטיקאים ב-1983 החלו לעבוד על קבוצת מנדלברוט ולהגדיל את הצורה, וראו שלאחת מהזרועות שלה יש עוד זרוע שקשורה אליה, וזו דומה לה בדיוק. היא מסתעפת ממנה בזיג-זיג, כמו איזה מכת ברק. התמונה כולה אפילו ניתנת להגדלה ואז ניתן אפילו להקטין ולקבל סיבים אף קטנים יותר, והם נשברים בנקודות מסוימות. ואם יש קו מתפתל וממשיכים להגדיל מגלים שיש עוד ועוד סיבים שיוצאים מהקו הזה ומשוטטים פנימה והחוצה. צריך קצת להתאמץ כדי לראות אותם, כי הם על סף יכולת הראיה, ובאותם הימים המחשב לא יכל להגדיל יותר מזה.

בשנות השמונים מתמטיקאים ניסו להבין את המבנה וההתנהגות של הדבר הזה, משהו שלמעשה חשבו שלא קיים כלל בעולם שלנו. הבינו שזה לא עוד ישות שנוצרה על ידי המחשב, שרואים מפעם לפעם במגזינים של ההי טק, אלא משהו אמיתי, אבל יחד עם זאת משהו שהוא לא שייך לעולם הזה. העובדה נותרה שהצורה שהייתה שם על גבי מסך המחשב היא עצם מתמטי, הפשטה מוחלטת.

באותה תקופה חשבו שהפרקטל, הוא העצם המסובך ביותר במתמטיקה. המתמטיקאים עסקו עד אז בישויות מדויקות או נקיות, משהו שיש מאחוריו הגיון, סדר מתמטי, כלומר, הסדר המתמטי הישן והמוכר של המתמטיקה הקלאסית והגיאומטריה האוקלידית. אבל אז הגיע הפרקטל. הוא נראה יפה לעיניים. מתמטיקאים התחילו לחקור אותו לא בגלל שהוא מועיל למישהו, אלא כי הוא יפה לעין. “המוטיבציה שלי היא קודם כל אסתטית” אמר פרופ’ ג’ון מילנור מהמכון ללימודים מתקדמים בפרינסטון ב-1983 לרג’יס, כאשר הוא חקר את הפרקטל, “אני מביט בדברים האלה בגלל שהם יפהפיים בשל עצמם”. מילנור אמר באותה תקופה, “עבור אנשים מסוימים המוטיבציה העיקרית היא שהמחקר של הדברים האלה עשוי להיות יעיל. עבורי אישית, תועלת היא רק תוצר לוואי שמח”. מילנור בכל זאת היה מודע לכך שלמחקר של הפרקטלים היה יישומים. באותה תקופה חקר הכאוס פרץ לתודעה ועמו גם היישום של הפרקטלים למערכות דינמיות.

מילנור התפעל מכך שישנה “עדיין רמה של הגדלה אפשרית עדינה יותר מזו שבה אנחנו מביטים עתה”. בעודו מביט מבעד למסך המחשב בשנות השמונים אמר מילנור, “למעשה אין נקודת עצירה אינהרנטית, וזה חלק מהמסתורין של הצורה שממולנו: ככל שתגדיל יותר כל חלק ממנה, כך תגלה שיחשפו לך יותר מבנים מבפנים. זה כמו סדרה לא נגמרת של קופסאות סיניות”. זוהי התכונה של הפרקטל שהוא דומה לעצמו. במלים אחרות, כאילו שמים מראה בתוך מראה על כל חלק קטן יותר של הפרקטל. מנדלברוט קרא לתכונה הזו “גורם קנה המידה” (הקטנה או הגדלה של הצורה, “סקיילינג”), שפירושה, הצורה היא אותה צורה ולא משנה באיזו רמה מביטים על העצם.

למעשה מבחינה מתמטית, להביט על פרקטל זה ייצוג ויזואלי של פונקציה נומרית שעושים לה איטרציה – חזרה שוב ושוב. מנדלברוט הסביר לרג’יס, ש”קבוצת מנדלברוט היא קבוצה של מספרים מרוכבים בעלי התכונה, שמבצעים פעולה מסוימת ואז מעלים בריבוע. לוקחים מספר z, מעלים את z בריבוע ומוסיפים את c. אחר כך, מעלים בריבוע את התוצאה, ומוסיפים את c. לוקחים את התוצאה ומעלים בריבוע ומוסיפים c, ועושים זאת פעמים רבות. בעקרון, כל פעם כאשר מקבלים תוצאה בודקים כדי לראות האם יצאתם ממעגל בעל רדיוס 2, ואתם מתווים זאת על גרף. בעודכם ממשיכים, הקבוצה מצטיירת בפירוט רב יותר ויותר. אבל כל מה שאתם למעשה עושים זה להכפיל משהו בעצמו, ולהוסיף לעצמו: z בריבוע פלוס c; הכל בריבוע פלוס c; הכל בריבוע פלוס c.”

מנדלברוט הסביר שקבוצת מנדלברוט היא התוצאה של התווית הפונקציה הפשוטה (z2 + c) שוב ושוב כאשר משתמשים במספרים מרוכבים כערכים התחלתיים. מנדלברוט אמר ש”קבוצת מנדלברוט מציגה במיוחד התנהגות קיצונית”. והוא הוסיף, “התופעה שהיא אופיינית לפרקטלים, היא שישנה נוסחא מאוד פשוטה והתוצאה היא סיבוך בלתי רגיל. זה מדהים לגלות ששורה אחת של אלגוריתם, שלא נראית במיוחד מעניינת כשלעצמה, תוביל למשהו בעל מבנה כה בלתי רגיל”.

באותה תקופה החלו לחשוב על הפרקטלים בהקשר של מערכות דינמיות, טורבולנציה ומערכות ביולוגיות. חשבו שאולי הפרקטלים יוכלו לספק מודל למערכת הריאות וכלי הדם האנושיים ומנדלברוט החל לראות פרקטלים בכל מקום בטבע – בכל תופעות הטבע החל מרמת המיקרו ועד רמת המקרו ובכלל עד אינסוף… הוא החל להפיק משוואות על המחשב שלו, שמחקות את המבנה של תופעות טבע כמו עצים, נהרות, מערכת העורקים האנושית, העננים בשמים, ותופעות שונות ומשונות. מנדלברוט אמר שה”פרקטלים הם החומר עצמו של הבשר שלנו!”

ב-1983 החלו להתווכח האם הגיאומטריה הפרקטלית מופרת ברמה המולקולארית? מנדלברוט התלהב וראה בכל מקום פרקטלים, אבל בכל זאת יש גבול. מילנור חשב באותה תקופה, “אם אתם בסקלה של עד עשרה מולקולות ועוד, הגיאומטריה הפרקטלית עשויה להיות תקפה מכאן ומעלה”. אולם מתחת לגבול זה חשבו שהגיאומטריה הפרקטלית אולי מופרת. השאלה שנשאלה הייתה, “אם כאשר מנפחים חלק מקבוצת מנדלברוט שוב ושוב, האם מגיעים לגבול?” מנדלברוט היה עסוק ביצורים החביבים עליו וקרא לאחד מהם “הדרקון סן מרקו”. הוא הסביר, “זוהי אקסטרפולציה פרועה מאת המתמטיקאי של קו השמים של הבזיליקה של ונציה, יחד עם ההשתקפות בפיאצה המוצפת”. האלגוריתם של הדרקון כל כך פשוט, רק עשרים שורות ומריצים אותו. קרני הקתודה של שנות השמונים עשו את העבודה ויצרו קתדרלה בונציה שמשתקפת במים. ומאז הפרקטלים חודרים למחקרים המדעיים בכל מקום…

מנדלברוט מסביר על פרקטלים

הספר של מנדלברוט מ-1982

המנדלבאלב – קבוצת מנדלברוט תלת ממדית