פרק מהספר “השערת פואנקרה”

פתח דבר ופרק ראשון מתוך הספר השערת פואנקרה מאת: דונל אושיי, הוצאת אריה ניר. מאנגלית: עמנואל לוטם

באדיבות אתר הספרים TEXT

אנרי פואנקרה, ענק המתימטיקה של סוף המאה התשע־עשרה ותחילת המאה העשרים, הותיר לנו חידה עיקשת, שיש לה השלכה על צורתו האפשרית של היקום. השערתו, שנוסחה בשנת 1904, הייתה אבן נגף לגדולי המתימטיקאים, שבמשך דורות לא הצליחו להוכיח אותה או להפריכה.

בשנת 2000 הגדיר מכון קליי למתימטיקה את השערת פואנקרה כאחת משבע החידות הגדולות והחיוניות של האלף החדש, והציע פרס של מיליון דולר על פתרונה.

המתימטיקאי הרוסי גריגורי פרלמן, הנרתע מאור הזרקורים, זעזע את עולם המתימטיקה בשנת 2002, כשפרסם את פתרונו באינטרנט ולא בכתב־עת הכפוף לשיפוט עמיתים. אחרי שנים של בדיקה נמרצת בידי כמה צוותים של מתימטיקאים, נמצא כי פתרונו עומד איתן בפני כל ניסיון להפריכו, ועתה הוא פותח אופקים חדשים ביקום המתימטי.

על הספר

השערת פואנקרה הוא סיפורם המרתק של האישים, המסורות והמוסדות שהוליכו במשך מאות שנים אל ההוכחה הדרמתית של פרלמן, ושהרחיבו תוך כדי כך את ידיעותינו על אופן פעולתו של היקום. הספר פותח אשנב להצצה מאלפת אל לב חיפושינו המתמידים אחר דעת.

סיומו של הספר הוא סיפור מתח במלוא מובן המילה, סיפור הקונגרס הבינלאומי של המתימטיקאים במדריד ב-2006, שבמהלכו הוענק עיטור פילדס היוקרתי לפרלמן – והוא דחה אותו מיד, בנימוק שאין לו שום עניין בחשיפה לציבור.

דונל או'שיי, מתימטיקאי מלומד ואמן הכתיבה, מתווה את דרכה של תורת הגיאומטריה למן הבבלים הקדמונים ועד לפורצי הדרכים החדשות במתימטיקה של ימינו, דרך שהוליכה אל השערת פואנקרה המהוללת, ומתאר את הניסיונות המרתקים והתחרותיים ליישב אותה.

או'שיי ניחן בכישרון מיוחד להבהרת מושגים מתימטיים מסובכים לפני הציבור הרחב, והודות לו הוא מפיח חיים בהישגיהם של פואנקרה, ברנהרד רימן, ויליאם תרסטון, ריצ'רד המילטון ואחרים – אישים ששאר רוחם שינה את פני המתימטיקה במאה השנים האחרונות.

או'שיי הוא דיקן הפקולטה וסגן הנשיא לעניינים אקדמיים במכללת מאונט הוליאוק, שם הוא מחזיק גם בקתדרה למתימטיקה ע”ש אליזבת ט' קינן. הוא חיבר ספרים ומונוגרפיות בתחומו המקצועי, ומאמרי המחקר שלו הופיעו בכתבי־עת ובאסופות רבים מספור. או'שיי חבר באגודה המתימטית האמריקנית, באיגוד המתימטי האמריקני ובאגודות המתימטיות של קנדה, לונדון וצרפת. הוא מתגורר בסאות הדלי שבמדינת מסצ'וסטס.

“תולדותיה של השערת פואנקרה הן סיפורו של אחד התחומים החשובים ביותר במתימטיקה המודרנית. דונל או'שיי מספר את הסיפור בסגנון מרנין ומאלף כאחד – המושגים, הסוגיות והאנשים שבזכותם קרה כל מה שקרה. מומלץ ביותר.” קית' דוולין, אוניברסיטת סטנפורד

השערת פואנקרה, החיפוש אחר צורת היקום מאת דונל או'שיי בהוצאת אריה ניר, מאנגלית: עמנואל לוטם, עורך מדעי לתרגום: אור משה שליט.

פתח דבר
הספר הזה עוסק בבעיה אחת ויחידה. מאז ניסח אותה המתימטיקאי הצרפתי המבריק אנרי פואנקרה, לפני יותר ממאה שנה, ריתקה בעיה זו את המתימטיקאים וייסרה אותם, עד אשר נפתרה – ממש לאחרונה. השערת פואנקרה נוגעת לדברים שמקומם בלב לבה של הבנתנו את עצמנו ואת היקום שבו אנו חיים.

אני כותב את הספר הזה למען הקוראים הסקרנים, הזוכרים מעט גיאומטריה מבית הספר התיכון, אבל לא הרבה יותר מזה – אם כי אני מקווה שגם המצוידים ברקע מתימטי עשיר יותר ייהנו ממנו. אם תיתקלו בקטעים קשים להבנה, תוכלו לפסוח עליהם בלי חשש ולהמשיך מהיכן שהקריאה נעשית שוב קלה.

לכו לכל בית קפה. שבו ליד מישהו במטוס. הקשיבו למה שיש לשכניכם לומר על מתימטיקה. אחדים אוהבים אותה, אבל רבים יותר אינם הוגים לה חיבה, ומה שיש להם לומר עליה נשמע לא טוב.

יש המשוכנעים כי הם אינם מסוגלים, מטבע בריאתם, להשתלט עליה. אחדים מתעבים אותה, ורבים שונאים אותה מעומק הלב, בלהיטות השמורה לאהבה שנכזבה.

כיצד יכול נושא יחיד, שיש בו שפע כזה של יופי, לחולל תגובות כה שונות אלה מאלה? חלק מהסלידה שכמה אנשים חשים כלפי המתימטיקה, נדמה לי, מקורו בפחד, ואיני משלה את עצמי כאילו יש בכוחו של הספר האחד הזה לשנות זאת.

אבל אם אין בכם דעה נחרצת נגד המתימטיקה, אני מקווה שהספר הזה יניע אתכם לקרוא עוד; ואם אתם תלמידים או סטודנטים, וחושבים על המשך דרככם, אולי תמצאו שכדאי לכם לקחת עוד כמה יחידות או קורסים במתימטיקה.

עזה תקוותי שתיהנו מקריאת הדברים הבאים כפי שנהניתי אני מכתיבתם.

דונל או'שיי

השערת פואנקרה | קיימברידג', אפריל 2003

במתימטיקה, מהפכות מתנהלות בשקט. בלי התנגשויות צבאיות, בלי תותחים. כתבות קצרות בעיתונות, בשום פנים לא בעמוד הראשי. רחוקות מלמשוך את העין. וכך היה גם בשעות אחר הצהריים הסגריריות של יום ב', 7 באפריל 2003, בקיימברידג' שבמדינת מסצ'וסטס בארצות הברית.

צעירים וזקנים הצטופפו באולם ההרצאות במכון הטכנולוגי של מסצ'וסטס (MIT). הם ישבו על הרצפה ובמעברים; הם עמדו מאחור. המרצה, מתימטיקאי רוסי בשם גריגורי פרלמן, לבוש בחליפה כהה מרופטת ונעול בנעלי ספורט, פסע הלוך ושוב עת שהציגו אותו. הוא היה מזוקן ומקריח, בעל גבות עבותות ועיניים כהות, נוקבות. הוא בדק את המיקרופון ופתח בהיסוס: “אני לא חזק בדיבור לינארי, לכן אני מתכוון להקריב את הבהירות למען רוח הדברים.” אדווֹת של חיוכים משועשעים חלפו בקהל, וההרצאה החלה. המרצה אחז בידו פיסה ענקית של גיר לבן ורשם על גבי הלוח משוואה מתימטית קצרה, בת עשרים שנה: . שמה הוא משוואת זרימת ריצ'י, והיא מטפלת בעקמומיוּת המרחב כאילו היא מין צורה אקזוטית של חוֹם, מעין לבה מותכת הזורמת מאזורים בעלי עקמומיות גבוהה יותר ושואפת להתפשט על פני אזורים בעלי עקמומיות נמוכה יותר.

פרלמן ביקש משומעיו לדמיין לעצמם את היקום כאיבר אחד בקבוצה המתימטית המופשטת הענקית של כל היקומים האפשריים. הוא העניק למשוואה פרשנות חדשה, כאילו היא מתארת את היקומים האפשריים האלה בתנועה, כמו היו טיפות מים הניגרות במורד צלעותיהן של גבעות כבירות בנוף ענקי. תוך כדי תנועתו של כל איבר, העקמומיות משתנה בתוך היקום שהיא מייצגת, ומתקרבת לערכים קבועים בכמה אזורים. ברוב המקרים, היקומים מפתחים גיאומטריות נאות: חלקן זהות לגיאומטריה האוקלידית שלמדנו בבית הספר, חלקן שונות מאוד. אבל נתיבים אחדים המוליכים מטה במדרון מעוררים בעיות: האיברים הנעים לאורכם מפתחים אזורים ממאירים מבחינה מתימטית, שנקטעים מעל שאר האזורים, אם לא גרוע מזה. לא נורא, הרגיע המרצה את שומעיו, אנחנו יכולים להסיט נתיבים כאלה; הוא התווה שרטוט שהראה איך עושים זאת.

הקהל נמשך להרצאה בעקבות מאמר שפרסם פרלמן באתר אינטרנט בנובמבר של השנה הקודמת. בפרק האחרון של המאמר הציג פרלמן טיעון שאם אמנם יימצא תקף, יהיה בכוחו להוכיח את ההשערה הכי מפורסמת, הכי חמקמקה והכי יפה בכל המתימטיקה. הציג אותה ב־1904 אנרי פואנקרה, גדול המתימטיקאים של תקופתו ואחד המחוננים ביותר בכל הזמנים: השערת פואנקרה היא ניחוש נועז העוסק בצורתו האפשרית של יקומנו, לא פחות ולא יותר.

ובכל זאת, אין היא אלא ניחוש. השאיפה להוכיח אותה או להפריכה אחזה במתימטיקאים בכוחות המשיכה של שירת הסירנות, והפכה אותה לבעיה המפורסמת ביותר לא רק בגיאומטריה ובטופולוגיה, אלא אף, ניתן לומר, בכל המתימטיקה. רק בעיה אחת מלבדה הייתה דומה לה במוניטין שיצאו לה – “השערת רימן”. במאי 2000 הכריז מכון קליי, מוסד שייעודו הוא קידום הידע המתימטי והפצתו, על “שבע בעיות האלף”, והציע פרס של מיליון דולר לכל מי שיפתור אחת מהן. המכון נועץ במתימטיקאים רבים כאשר ערך את הרשימה, וראו זה פלא, השערת פואנקרה והשערת רימן היו השתיים היחידות שציין כל אחד ואחד מהיועצים הללו.

יש לשער כי יותר ממחצית מהיושבים באולם ניסו את כוחם בהשערת פואנקרה בזמן מן הזמנים. כל שומעי ההרצאה, עד אחד – החל בבן השלושים ומשהו המלוקק בעל השיער המסתמר, שרשם את רשימותיו בסינית, או בבלונדינית בחולצה ההדוקה ובחצאית הקצרה מדי, וכלה בטיפוס הספורטיבי במכנסי הריצה המרושלים ובחולצת הטריקו הלחה, או בבן השמונים טרוט העיניים שמקטורנו השמרני הוכתם באבק גיר של עשרות שנים – כולם ידעו בלי שמץ של ספק כי הם נוכחים באחד מרגעי השיא הכבירים של מורשת בת שלושת אלפים שנה. המתימטיקה שבה דובר הועברה בשקדנות מדור לדור, מעידן לעידן, דרך ימים של עושר גדול וימים של עוני משווע, החל מאותו בבלי אלמוני שנתן לנו את שטח המעגל, הלאה אל שלמותו המחמירה של אוקלידס, ועוד הלאה אל פריחת הגיאומטריה והטופולוגיה במאתיים השנים האחרונות.

שבועיים וכמה הרצאות אחר־כך, בקמפוס החשוב ביותר של אוניברסיטת המדינה של ניו יורק, בסטוֹני ברוק, התנהל חיזיון דומה. אולם ההרצאות היה גדוש עוד יותר, וזו הפעם נמצאו בחדר כמה עיתונאים. הכתבים שמעו שפרלמן גילה תגלית מדהימה הנוגעת לצורתו של יקומנו, ושהוא עשוי לזכות בעקבות זאת בפרס של מיליון דולר. והם גם שמעו על הקריירה שלו הלוטה בערפילים – כיצד הוא נעלם מן העין עשר שנים לפני־כן, איש מבריק אליבא לכל הדעות, אבל גם איש שההבטחה הגלומה בו לא התגשמה מעולם. נורות מבזק התלקחו. “אל תעשו את זה,” התיז פרלמן ברוגז גלוי.

המתימטיקאי השיב בסבלנות על כל השאלות שנשאלו מהקהל בתום הרצאתו, שאלות שניתכו עליו כמו מטר אבנים. “אבל הפתרון ההוא יתפוצץ בזמן סופי,” נשמע קול מאמצע האולם. “זה לא משנה,” ענה פרלמן; “אנחנו יכולים לקצץ אותו ולהתחיל את הזרימה מחדש.” שתיקה, ואחריה כמה הנהונים. המאזינים היו זהירים, ושקלו היטב את מה ששמעו. הם היו עתידים להפוך בדעתם את מה ששמעו מפיו, במשך החודשים הבאים, אבל לעת עתה, הדברים נשמעו מבטיחים.

חלק גדול מהמתימטיקה שעליה הסתמך פרלמן אפילו לא עלתה על הדעת שלושים שנה לפני־כן. הכלים הטכניים שהוא השתמש בהם נמצאו ממש על גבול האפשרי, והיו תלויים תלות חיונית בעבודתם של אחדים מהנוכחים באולם. האווירה הייתה טעונת חשמל. הכול ידעו כמה רגישים טיעוניו של המרצה, כמה נפתלים הם, ובאיזו קלות הם יכולים לסטות מדרך הישר. כולם השתוקקו שטיעוניו יחזיקו מעמד. כבר הופיע אתר רשת, בניהולם של שני פרופסורים מהמחלקה המעולה למתימטיקה של אוניברסיטת מישיגן, ברוס קליינר וג'ון לוֹט. האתר הכיל קישורים אל מאמריו של פרלמן. מתימטיקאים ברחבי העולם הוסיפו הערות וטיעונים להבהרת נקודות סתומות, והרחיבו חלקים שנראו להם תמציתיים מדי.

כמעט כל מתימטיקאי, ולא רק הגיאומטריקאים מביניהם, הכיר מישהו שנכח בהרצאה, וציפה לשמוע דברים מפיו. רוב היושבים באולם רשמו רשימות, לעצמם ולחבריהם. שניים מהם – כריסטינה סוֹרמָאני, פרופסורית צעירה ממכללת לֵיימָן, ויאיר מינסקי שאך זה נעשה פרופסור מן המניין בייל – העלו לאחר מכן את רשימותיהם לאתר הרשת, למען יוכלו הכול לעיין בהן.

כמו ב־MIT, גם כאן היה ברור לכל הנוכחים, צעירים כזקנים – מלבד העיתונאים – כי מה שהם שומעים הוא התגשמות של יותר ממאה שנות פריחה מתימטית – הפריחה הגדולה ביותר שידעה החשיבה המתימטית מאז היות המין האנושי. ההרצאה תבעה את מלוא תשומת לבם של שומעיה, ולא הותירה מקום למחשבות תועות. אף־על־פי־כן, רבים הרהרו בוודאי באירוע או במאמר זכור במיוחד, מהזמן האחרון או מלפני ימים רבים, שהיה קשור לעבודתו של פואנקרה; ואפשר שנזכרו במישהו שאולי הסתלק מן העולם לפני שנים, וחשבו עד כמה היה שמח לשמוע את ההרצאה הזאת. כולם כאחד התרוננו על השפע הזה של רעיונות טובים ושל דרכים מבטיחות שראוי לחוקרן.

הכתבים, לעומת זאת, רצו לשמוע על מיליון הדולרים. איך מרגיש פרלמן, לנוכח האפשרות שיזכה בסכום כסף כה גדול? משהתברר להם בהדרגה שזה בכלל לא מעניין אותו, הם שינו כיוון וכתבו על הרוסי המסוגר בתוך עצמו שגילה תגלית מתימטית חשובה, והוסיפו את ניחושיהם על כך שאולי ידחה את הפרס. פרלמן הוסיף עוד פרטים בימים הבאים, בסדנאות שכונסו בחיפזון. אבל הוא דחה את כל בקשות העיתונאים לראיין אותו, וחזר לסנקט פטרבורג כעבור כמה שבועות, בלא שהשיב כלל על הצעות העבודה שהמטירו עליו אוניברסיטאות אמריקניות.

השערת פואנקרה וההוכחה שנתן לה פרלמן מהוות במשותף אחד מגדולי ההישגים של זמננו; יש בהן כדי ללמדנו רבות על צורתו של יקומנו. משוואת זרימת ריצ'י שרשם פרלמן על הלוח, מין משוואת חום, היא קרובה־רחוקה של משוואת בלק־שוֹלס, שבה משתמשים סוחרי בורסה בעולם כולו לתמחור מניות ואופציות אג”ח. אבל עקמומיות היא עניין מסובך יותר מטמפרטורה, או מכסף. כפי שיוסבר בפרקים הבאים, עקמומיות היא עצם גיאומטרי שיש צורך ביותר ממספר אחד כדי לתאר אותו, ומשוואת זרימת ריצ'י שהשתמש בה פרלמן היא צורה מקוצרת של שש משוואות קשורות זו לזו – הישג מרשים של אלגנטיות, משוואה פשוטה למראית־עין, אך צופנת עושר מסחרר. אפשר להמשילה, מבחינה זו, למשוואת תורת היחסות הכללית של איינשטיין, המבטאת את עקמומיות המרחב־זמן.

השערת פואנקרה הוא סיפורה של המתימטיקה שמאחורי ההשערה והוכחתה. סיפורה של כל התפתחות מתימטית, אם הוא ראוי לשמו, אינו רק סיפורן של תוצאות, שכּן יש לדבר גם על האנשים שהביאו לעולם את התוצאות האלה. עד כמה שהישגים במתימטיקה מגיעים בכלל לידיעת הציבור, הם מעלים באוב דימוי רומנטי ובדוי מן הלב – הגאון המסוגר בחדרי חדרים, שם הוא נאבק בקוסמוס האדיש ומחלץ מידיו מעט הבנה. ואכן, ישנם אישים שתובנותיהם מופיעות יש מאין, לכאורה, ומקדמות את התחום בעשרות שנים בבת אחת. אבל חרף כל ססגוניותה של הגאוניות ולמרות כל תעלומותיה, ההתקדמות במתימטיקה תלויה גם באלפי אנשים אחרים, ובמוסדות ובחברות שבמסגרתם הם חיים ופועלים. הגיע הזמן לספר את הסיפור הזה, רחב היריעה. עלילתו נמשכת מבבל שמלפני שלושת אלפים שנה אל סנקט פטרבורג, אל צפון מדינת ניו יורק ואל מדריד של ימינו. זהו סיפור של מסעות חקר, של מלחמות, של אגודות מדעיות ושל צמיחת אוניברסיטאות המחקר, תחילה בגרמניה ומאוחר יותר בארצות הברית. הוא מתחקה אחר תולדות הגיאומטריה לאורך חמשת אלפים שנה, ומתעד את גילוי הגיאומטריה הלא־אוקלידית ואת הולדת הטופולוגיה והגיאומטריה הדיפרנציאלית. מעורבים בו עשרות חברות ומוסדות אנושיים, ומאות בני־אדם.

בין לבין הדיונים במתימטיקה שובץ חומר ביוגרפי, תרבותי והיסטורי. המתימטיקה תהיה רבה מדי לאחדים ומעטה מדי לאחרים, אבל רוב בעלי ההשכלה התיכונית יוכלו להתמודד עם המושגים הבסיסיים הנכללים בספר, גם אם יתלבטו במקצת עם הנקודות הסבוכות יותר.

יכול אדם להבין ולהעריך את המתימטיקה, ואת ההשערה המפורסמת הזאת, בלא שיחשב את החשבונות בעצמו. לנוחות הקוראים הובאו בסוף הספר רשימת מונחים מתימטיים לצד הגדרותיהם, ציונים ביוגרפיים של אישים ולוח זמנים המתאר את האירועים החשובים במהלך ההיסטוריה, ביבליוגרפיה ורשימת הצעות לקריאה נוספת. לבסוף מופיעים מראי מקומות למקורות.

חלק מהמתימטיקה נולד בעבר הרחוק, לפני אלפי שנים. החקירה המתימטית היא אחת מפעילויותיו העתיקות ביותר של האדם, שכן ימיה כימי העיסוק בנגרות, בבישול ובחישול מתכת. אך בפועל, כמות המתימטיקה שהתגלתה מאז שנת 1900 גדולה מכל מה שנתגלה משחר ההיסטוריה ועד אז. כיוון שכך, הקצב מתגבר וההסתמכות על עיונים מתימטיים מפורטים יותר ועל מראי מקומות הולכת וגוברת, בהכרח, ככל שסיפור העלילה מתקרב אל ימינו אלה. תוכלו לדלג על הקטעים המתימטיים יותר; לא תהיה בחינה בסוף. ותמיד תוכלו לחזור לאחור, אם תרצו, ולתהות על הדברים שנראו לכם לא־ברורים בתחילה. אחרי ככלות הכול, השערת פואנקרה הכשילה את המתימטיקאים המלומדים ביותר במשך מאה השנים האחרונות.