פרדוקסים של הוראה עצמית

האם לכל כלל יש יוצא מן הכלל? האם כל טענה היא אמיתית או שקרית? האם כל טיעון הוא תקף או בלתי תקף, בלא אפשרות שלישית? אפשרות ההוראה-העצמית בשפה מעוררת קשיים רבים ומחייבת אותנו לבחון אותה בזהירות-יתר

מריוס כהן מגזין “גלילאו”

האם לכל כלל יש יוצא מן הכלל? אם כן – הרי שגם לכלל זה יש יוצא מן הכלל ופירוש הדבר שאינו נכון, כלומר, שלא לכל כלל יש יוצא מן הכלל. מכיוון שטענה זו, שלכל כלל יש יוצא מן הכלל, מביאה לסתירה עצמית, אין היא יכולה להיות אמיתית. אולם אין בכך שום פרדוקס, משום ששלילתה (הטענה שלא לכל כלל יש יוצא מן הכלל) אינה סותרת את עצמה, ועל כן מן הסתם היא האמיתית מבין השתיים. לעומת זאת אפשרי, כפי שנראה להלן, שגם טענה וגם שלילתה יסתרו את עצמן, ובכך ייווצר פרדוקס.

אך בטרם ניגש לפרדוקסים עצמם, ננסה לבחון כיצד טענה יכולה לסתור את עצמה. ראשית חשוב להבחין בין המושג משפט (משפט חיווי, בהקשר זה), שהוא מבע לשוני אשר מבטא טענה, לבין הטענה עצמה, אשר מהווה את כוונת אומר המשפט. למשל, אם בסיומה של תחרות ריצה שני אצנים מתווכחים ביניהם וכל אחד מהם אומר: “אני הגעתי ראשון”, הרי שאף ששניהם אומרים אותו משפט, טענותיהם שונות (אחרת לא היה ביניהם ויכוח). באותה מידה, אם אחד מהם אומר “אני ניצחתי”, ורעו עונה לו “אתה ניצחת”, הרי ששני המשפטים שונים זה מזה, אך הם מביעים אותה טענה. מכיוון שכך, הטענה, ולא המשפט, היא זו שנושאת ערך-אמת, כלומר, היא זו שאפשר לומר עליה שהיא אמיתית או שקרית (לא המשפט “אני הגעתי ראשון” הוא אמיתי או שקרי, אלא הטענה שהוא מביע).

שאלה חשובה בהקשר זה היא מה קובע אם טענה מסוימת היא אמיתית או שקרית. ובכן, על פי עמדה פילוסופית רווחת (ובעמדות אחרות לא נעסוק כאן), טענה על העולם (למשל, “השמש זורחת”) נתפשת כאמיתית אם היא תואמת את המציאות (אם השמש באמת זורחת), אם לא כן היא נתפשת כשקרית. אולם, העושר של השפה מאפשר לנו לטעון טענות לא רק על העולם אלא גם על טענות אחרות. אני יכול למשל, לומר: “אתה משקר,” ובכך לטעון שטענתך שקרית. אם אכן כך הוא, הרי שטענתי אמיתית, אחרת אני הוא זה שמשקר. אבל אם טענה יכולה לטעון לא רק על אודות עובדות בעולם אלא גם על אודות טענות אחרות, נראה שאין מניעה שטענה תתייחס גם אל עצמה. למשל, אני יכול לומר: “טענה זו נטענת ביום ראשון”, או: “טענה זו מובעת בעברית”, ועל פניו נראה שאנו יכולים לייחס לטענות כאלו ערכי אמת כמו לכל טענה אחרת. אנו אומרים על טענה כזו, אשר מתייחסת לעצמה, שהיא כוללת הוראה עצמית. כך גם הטענה: “לכל כלל יש יוצא מן הכלל”. מכיוון שטענה זו בעצמה מביעה כלל, הרי שהיא מעידה על עצמה שהיא שקרית, וכך מתקבלת סתירה עצמית.

עוד בסדרת הפרדוקסים: פרדוקס הערמה

פרדוקס השקרן

הפרדוקס המפורסם ביותר של הוראה עצמית הוא “פרדוקס השקרן”, המיוחס לפילוסוף יוּבּוּלידֶס (Eubulides) ממילֶטוס, בן זמנו של אריסטו. הפרדוקס עבר גלגולים שונים (כמו, למשל, המשפט “כל בני כרתים הם שקרנים”, שנאמר כביכול בידי מי שהיה כרתי בעצמו), ומוכר כיום בגרסתו העממית: “משפט זה הוא שקר”. אך מאחר שכפי שראינו, לא המשפטים הם הנושאים ערכי-אמת אלא הטענות, אנו נשתמש בגרסה המדויקת יותר, שהיא:

“טענה זו שקרית”

כשבביטוי “טענה זו” הכוונה היא לטענה שהמשפט דלעיל מביע. מאחר שטענה יכולה להיות או אמיתית או שקרית, אנו מצפים שגם לטענה זו יהיה ערך-אמת מוגדר. אך הטענה אינה יכולה להיות אמיתית, שכן היא מעידה על עצמה שהיא שקרית, ומאמיתותה נובעת שקריותה. כמו כן היא גם אינה יכולה להיות שקרית, שכן מכך נובע שאין היא שקרית, כלומר, היא אמיתית. אם כן – האם הטענה אמיתית או שקרית?

אפשר לטעון שהפרדוקס נובע מעצם דרישתנו שלכל טענה יהיה ערך-אמת מוגדר (אמת או שקר), אך יש טענות, כדוגמת טענה זו, שאין להן ערך-אמת מוגדר ועל כן אין כאן שום פרדוקס – הטענה אינה אמיתית או שקרית. אך ניסיון זה לפתור את הפרדוקס כרוך בכמה בעיות: ראשית, יש כאן חריגה מהלוגיקה הקלאסית הדו-ערכית, המייחסת לכל טענה את אחד משני ערכי-האמת: אמת או שקר. לוגיקה זו כה מעוגנת בצורת החשיבה שלנו, שלא בקלות נסכים לוותר עליה. יתר על כן, הבעיה העיקרית הכרוכה בעמדה זו היא פשוטה יותר: היא אינה מסוגלת לפתור את הפרדוקס המתקבל מהטענה שלהלן:

“טענה זו היא שקרית או שהיא חסרת ערך-אמת מוגדר”

לא ייתכן שהטענה אמיתית, משום שמאמיתותה נובע שהיא שקרית. גם לא ייתכן שהטענה שקרית, משום שמכך נובע שהיא אמיתית. אבל גם לא ייתכן שהיא חסרת ערך-אמת מוגדר, משום שמכך נובע שהטענה אמיתית, ועל כן בעלת ערך-אמת מוגדר! אם כן, נראה שהניסיון לפתור את פרדוקס השקרן באמצעות ויתור על הלוגיקה הקלאסית איננו מוצדק, ועלינו לחפש לבעיה מוצא אחר.

פרדוקס קרי

לשם הבנת פרדוקס קרי (Curry), עלינו להכיר תחילה את המושג משפט תנאי. משפט תנאי הוא משפט המביע טענה מותנית, שהיא בעלת המבנה: “אם A אז B”, כאשר A ו-B הן בעצמן טענות (A נקראת הרישא של הטענה המותנית, ו-B הסיפא). למשל: המשפט “אם יֵרֵד גשם המשחק יידחה” הוא משפט תנאי, והוא טוען שאם הטענה “יֵרֵד גשם” אמיתית (כלומר, אם באמת ירד גשם), אז גם הטענה “המשחק יידחה” היא אמיתית (כלומר, המשחק אכן יידחה). נשאלת השאלה באילו מצבים תהיה טענה כזו, המובעת במשפט תנאי, אמיתית, ובאילו מצבים היא תהיה שקרית.

בלא ספק, אם ירד גשם, הרי שיש לראות את הטענה כאמיתית אם אכן המשחק יידחה וכשקרית אם המשחק לא יידחה. במילים אחרות, אם הטענה A אמיתית, הרי שהטענה המותנית היא אמיתית אם ורק אם גם B אמיתית. אך איזה ערך אמת יש לייחס לטענה המותנית אם לא ירד גשם? האם שיקרנו באמרנו שאם ירד גשם המשחק יידחה? מובן שלא, שהרי הצהרנו רק מה יקרה אם כן ירד גשם. אי לכך, אם טענה A שקרית, הטענה המותנית “אם A אז B” נתפשת כאמיתית בין שטענה B אמיתית ובין שהיא שקרית. אפשר לסכם זאת באמצעות טבלת האמת שלפניכם:

A B אם A אז B

אמת אמת אמת
אמת שקר שקר
שקר אמת אמת
שקר שקר אמת

דבר נוסף שעלינו להכיר להבנת פרדוקס קרי הוא כלל היסק לוגי הידוע בכינויו מוֹדוּס פּוֹנֵנְס. הכלל אומר שמאמיתות שתי הטענות “A” ו”אם A אז B” נובעת גם אמיתות הטענה “B”. למשל, אם הטענות “היום יום ראשון” ו”אם היום יום ראשון אז מחר יום שני”, שתיהן אמיתיות, הרי שבהכרח גם הטענה “מחר יום שני” היא אמיתית.

ועכשיו לפרדוקס קרי. נבחן את הטענה הזאת: “אם טענה זו אמיתית, חיפה היא בירת ישראל”

אנו רואים מיד שטענה זו כוללת הוראה עצמית, שכן היא מתייחסת לעצמה בָּרישא (במילים “טענה זו”). ובכן, האם הטענה אמיתית או שקרית? אם היא אמיתית, הרי שגם הרישא שלה אמיתי, ומכלל ההיסק מודוס פוננס נובע שגם הסיפא שלה אמיתי, כלומר, שחיפה היא בירת ישראל. נניח, אם כן, שהטענה שקרית. אבל אז גם הרישא שלה (“טענה זו אמיתית”) שקרי, וכפי שראינו לעיל, אם הרישא של טענה מותנית הוא שקרי, הרי שהטענה כולה אמיתית. כלומר, מהנחת שקריותה של הטענה נובעת אמיתותה. ואולם, כבר ראינו שמאמיתות הטענה נובע שחיפה היא בירת ישראל. במילים אחרות, לא משנה איזה ערך-אמת אנו מייחסים לטענה, מסקנתה היא אחת: חיפה היא בירת ישראל! (ומובן שיכולנו להראות באותו אופן גם את אמיתותה של כל טענה אחרת, ובכלל זה הטענה שחיפה אינה בירת ישראל).

עוד בסדרת הפרדוקסים: ההגיון מאחורי הפרדוקסים של זנון

פרדוקסים של תקֵפות

טיעון הוא אוסף של טענות שאחת מהן היא המסקנה, והשאר הן הנחות המנסות להוביל אליה. אם מבנה הטיעון הוא כזה, שבהיות כל הנחותיו אמיתיות מסקנתו אף היא חייבת להיות אמיתית, אנו אומרים שהטיעון תקף (אחרת הוא אינו תקף). לדוגמה, בטיעון:

הנחה 1: היום יום ראשון
הנחה 2: אם היום יום ראשון אז מחר יום שני
מסקנה: מחר יום שני

אם שתי ההנחות אמיתיות, כך גם המסקנה (בהכרח), ועל כן הטיעון תקף (אפשרי שלטיעון תהיה הנחה אחת בלבד, כפי שנראה בפרדוקס התקפות להלן).

נבחן עכשיו את הטיעון שלהלן, הכולל הוראה עצמית:

הנחה: טיעון זה הוא תקף

מסקנה: חיפה היא בירת ישראל

האם הטיעון תקף? אם כן, הרי שההנחה (“טיעון זה הוא תקף”) אמיתית, ולכן גם המסקנה אמיתית. כלומר, חיפה היא בירת ישראל. מכיוון שכך, נרצה לטעון שהטיעון אינו תקף. אבל על פי הגדרה טיעון זה אינו תקף אם ורק אם ייתכן שהנחתו אמיתית בעוד שמסקנתו שקרית. אם טיעון זה אינו תקף, הרי שהנחתו (“טיעון זה הוא תקף”) בהכרח שקרית, והתנאי להיותו של הטיעון בלתי תקף אינו יכול להתמלא. אם כן, הטיעון חייב להיות תקף, וכפי שראינו הנחתו אמיתית, ואין מנוס מלהסיק שחיפה היא בירת ישראל.
פרדוקס תקפות אחר מודגם על-ידי הטיעון:
הנחה: ירושלים היא בירת ישראל
מסקנה: טיעון זה אינו תקף

האם הטיעון תקף? אם כן, הרי שמאחר שהנחתו אמיתית, גם מסקנתו אמיתית, כלומר, הטיעון אינו תקף, ומקבלים סתירה. לכן, נרצה לטעון שהטיעון אינו תקף, אולם על פי הגדרה טיעון זה אינו תקף אם ורק אם ההנחה אמיתית בעוד המסקנה שקרית. ואם, כפי שקבענו, טיעון זה אינו תקף, הרי שמסקנתו (“טיעון זה אינו תקף”) בהכרח אמיתית, והתנאי להיותו של הטיעון בלתי תקף אינו יכול להתמלא (ובדומה לדו-ערכיות בנוגע לערכי-האמת של טענות, כל טיעון בלוגיקה הקלאסית הוא או תקף או בלתי תקף, בלא אפשרות שלישית). וגם כאן הפרדוקס נוצר בשל השימוש בהוראה עצמית.

הצעת פתרון

רבות נכתב על פרדוקסים של הוראה עצמית, ובמיוחד על פרדוקס השקרן, כשעל כל העמדות והדעות הקיימות בנושא אפשר לכתוב ספר עב-כרס. להלן אציג פתרון אחד שהוצע לפרדוקסים של הוראה עצמית, שעל אף היותו שנוי במחלוקת הוא עשוי לשפוך אור על כל הפרדוקסים שהוצגו לעיל ועל אחרים כדוגמתם.

נדמה לנו את סדרת הטענות הזאת:

1. הטענה הבאה אמיתית
2. הטענה הבאה שקרית
3. הטענה הבאה שקרית
4. לונדון היא בירת אנגליה

כדי לקבוע את ערך-האמת של טענה מס' 1 עלינו לקבוע תחילה את ערך-האמת של טענה מס' 2. לשם כך עלינו לקבוע תחילה את ערך-האמת של טענה מס' 3, אשר נקבע על-ידי ערך-האמת של טענה מס' 4, האחרונה ברשימה. מכיוון שטענה אחרונה זו היא אמיתית, הרי שהטענה שקדמה לה, טענה מס' 3, היא שקרית. לכן טענה מס' 2 היא אמיתית, וכך נוכל לקבוע שגם הטענה שבה פתחנו את הרשימה היא אמיתית. רשימה כזו יכולה להיות ארוכה כרצוננו, אך בסופו של דבר עלינו להגיע לְטענה, שערך-האמת שלה אינו מבוסס על ערך-האמת של טענה אחרת, אלא מעוגן באיזושהי עובדה (הטענה “לונדון היא בירת אנגליה” אמיתית משום שלונדון היא אכן בירת אנגליה). אך מה יקרה אם הרשימה שלנו תהיה אינסופית? ברשימה כמו זו:

1. הטענה הבאה שקרית
2. הטענה הבאה שקרית
3. הטענה הבאה אמיתית

ערך-האמת של כל אחת מהטענות מבוסס על ערך-האמת של טענה אחרת, ואין שום טענה אשר ערך האמת שלה מעוגן בעובדה כלשהי. כתוצאה מכך אי-אפשר לקבוע את ערך-האמת של אף אחת מהטענות. מצב דומה אפשר לקבל גם עם מספר סופי של טענות כאשר הן יוצרות מצב של הוראה מעגלית:

1. הטענה הבאה אמיתית
2. הטענה הקודמת שקרית

וכפי שראינו גם עם טענה אחת בלבד: “טענה זו שקרית”. גם כאן אי-אפשר לעגן את ערך-האמת של הטענה בעובדה כלשהי, ועל כן אי-אפשר לקבוע את ערך-האמת שלה. לכאורה יש כאן ויתור על הלוגיקה הקלאסית וחזרה להצעה שערך-האמת של טענה כזו אינו מוגדר. אולם, אפשר להימנע מכך אם קובעים שמשפט המתיימר להביע טענה בלתי מעוגנת למעשה כלל אינו מביע טענה. דבר דומה קורה, למשל, כאשר המשפט “הכיסא הזה כחול”, שעל פניו מביע טענה ברורה מאוד, נאמר מפי אדם שאינו מצביע על שום כיסא. במצב כזה המשפט שנאמר אינו מביע שום טענה (אף שהוא עשוי לעשות זאת בהקשר אחר), ועל כן אין מקום לשאול אם אותו אדם דיבר אמת או שקר.

עמדה זו פותרת גם את שאר הפרדוקסים של ההוראה העצמית, שכן כולם מבוססים על משפטים אשר אינם מביעים טענות מעוגנות. בפרדוקס הראשון של התקֵפות, למשל, המשפט “טיעון זה הוא תקף” אינו מביע טענה מעוגנת, ומאחר שעל פי התפישה שהוצגה כאן משפט כזה כלל אינו מביע טענה, הרי שבפועל אין בפנינו טיעון, משום שעל פי הגדרת המושג, הן הנחות הטיעון והן מסקנתו הן טענות.

לקינוח

כפי שראינו ההוראה העצמית מעוררת קשיים סמנטיים (כלומר, כאלו הנוגעים לקביעת ערכי-האמת של טענות), אך יש לה, להוראה העצמית, גם פן משעשע. להלן כמה משפטים מעוררי מחשבה (וחיוך), העושים שימוש בהוראה עצמית. רוב המשפטים מבוססים על דוגמאות מספרו של דגלס הופשטטר (Hofstadter): Metamagical Themas.:

• במשפט זה האות “ש” מופיעה במקום השלישי, השנים-עשר, העשרים וחמישה, העשרים ושמונה, השלושים ואחד, השלושים ושישה, הארבעים, הארבעים ושמונה…
* אף על פי שטענה זו מתחילה במילה “בגלל”, היא שקרית
* תוכלו להבין משפט זה אם תשנו בו חגיגה אחת
* שפט זה נכתב ללא הופעי של האות ' '
* שט זה נכתב ללא הועי של האויות ' ', ' ' ו- ' '
* ' ', ' ', ' ', ' ', ' ', ' ', ' ', ' ', ' ', ' ', ' ', ' ', ' ', ' ', ' ' – ' '
* סופו של משפט זה נכתב ב
* אם נוציא זה כל שלישית עדיין יהיה להבין
* התעלמו מהנחיה זו
* טענה זו אמיתית