פרק מתוך הספר “האם אלוהים הוא מתמטיקאי?” מאת מריו ליביו מאנגלית: עמנואל לוטם, הוצאת אריה ניר
העולם אינו עומד דום. רוב הדברים הסובבים אותנו שרויים בתנועה, או משתנים בלי הפוגה. אפילו כדור הארץ, הנראה כה מוצק תחת כפות רגלינו, מסתחרר סביב צירו, חג סביב השמש ומקיף (יחד עם השמש) את מרכזה של גלקסיית שביל החלב. האוויר שאנו נושמים עשוי מביליוני מולקולות שכולן נעות בלי הרף, ובאקראי. בה בעת, צמחים גדלים, חומרים רדיואקטיביים מתפרקים, טמפרטורת האטמוספירה עולה ויורדת מיום ליום ומעונה לעונה ותוחלת החיים של האדם מתארכת בהתמדה. אבל תזזיתיותו זו של הקוסמוס, כשלעצמה, לא בלמה את המתימטיקה. ענף המתימטיקה הקרוי חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי (חדו”א), נוסד על־ידי ניוטון ולייבניץ במפורש כדי לאפשר ניתוח דקדקני של תנועה ושל שינוי, על־מנת שיהיה אפשר לבנות מודלים מדויקים שלהם. במשך הזמן שעבר מאז ימיהם נעשה הכלי המופלא הזה אדיר וחובק־כול, וניתן להשתמש בו לבדיקת תופעות שונות לחלוטין זו מזו כמו תנועתה של מעבורת חלל או התפשטותה של מחלה מידבקת. כשם שסרט קולנוע קולט תנועה על־ידי פירוקה לרצף של “מסגרות”, בזו אחר זו, כן יכול החדו”א למדוד שינויים במסננת כה דקיקה, עד שהיא מאפשרת את קביעתם של גדלים בני־חלוף – כמו מהירות, תאוצה או קצב שינוי – ברגע קצרצר מאין כמוהו של זמן.
בעקבות צעדי הענק שעשו ניוטון ולייבניץ הוסיפו המתימטיקאים של עידן הנאורות (סוף המאה השבע־עשרה והמאה השמונה־עשרה) והרחיבו את החדו”א אל תחום אדיר ורב־יישומים עוד יותר ממנו, המשוואות הדיפרנציאליות. בנשק החדש הזה הצטיידו המדענים, המסוגלים כיום להציג תיאוריות מתימטיות מפורטות של תופעות המשתרעות החל בצלילים שמפיק מיתר כינור וכלה בהולכת חום, מתנועת סביבון ועד זרימת נוזלים וגזים. במשך זמן־מה, המשוואות הדיפרנציאליות היו הכלי המועדף לקידום הפיסיקה.
אחדים מראשוני החוקרים שתיירו בנופים החדשים אשר פתחו המשוואות הדיפרנציאליות היו בניה של משפחת בֶּרנוּלי האגדית. מאמצע המאה השבע־עשרה ועד אמצע המאה התשע־עשרה הוציאה משפחה זו מחלציה לא פחות משמונה מתימטיקאים דגולים. האנשים המחוננים הללו נודעו לשם, לא רק בזכות המתימטיקה המעולה שלהם, אלא גם – כמעט באותה המידה – בשל מריבות האחים החריפות שניהלו בינם לבין עצמם. כל היריבויות הפנים־ברנוליות היו קשורות לתחרות ביניהם על עליונות בעולם המתימטיקה, אם כי אחדות מהבעיות שעליהן התקוטטו אולי אינן נראות כיום חשובות במידה יוצאת מן הכלל. ובכל זאת, פתרון החידות הסבוכות הללו פתח במקרים רבים את השער לפריצות־דרך מתימטיות מרשימות ביותר. בכללותם של דברים, אין ספק בכך שמשפחת ברנולי מילאה תפקיד חשוב בביסוס המתימטיקה כשפתם של תהליכים פיסיקליים רבים ומגוונים.
סיפור אחד ימחיש את תחכום מחשבתם של שניים מן המבריקים בבני ברנולי – האחים יָקוֹבּ (1654 – 1705) ויוֹהָן (1667 – 1748). יקוב ברנולי היה אחד מחלוצי תורת ההסתברות, ונחזור אליו בהמשך פרק זה. אבל ב־1690 עסק יקוב בהחייאתה של בעיה שראשון התוהים עליה, מאתיים שנה קודם־לכן היה הגדול באנשי האשכולות של הרנסנס, לאונרדו דה וינצ'י: מהי הצורה שתקבל שרשרת אלסטית שאינה ניתנת להארכה, אם תיתלה בין שתי נקודות קבועות (ראו איור 31)? לאונרדו שרטט בפנקסיו כמה שרשראות כאלה, וגם דקארט שמע על הבעיה מפי ידידו איסק בקמן, אם כי אין ראיות לכך שדקארט ניסה לפתור אותה בפועל ממש. בסופו של דבר קיבלה הבעיה שם, בעיית קו־השרשרת. גלילאו חשב שהצורה תהיה פרבולית, אבל הישועי הצרפתי איגנטיוס פָּארדִי (1636 – 1673) הוכיח שטעות הייתה בידו. אלא שפארדי לא נטל על עצמו את משימת מציאתו של פתרון מתימטי לצורה הנכונה.
רק חלפה שנה אחת מאז הציג יקוב ברנולי את הבעיה, וכבר בא אחיו הצעיר יוהן ופתר אותה (בעזרת משוואה דיפרנציאלית). לייבניץ והפיסיקאי המתימטי ההולנדי כריסטיאן הַייגֶנץ (1629 – 1695) פתרו אותה גם הם, אבל פתרונו של הייגנץ עשה שימוש בשיטה גיאומטרית סבוכה יותר. הצלחתו של יוהן בפתרון בעיה שנבצרה מכוחו של אחיו, שהיה גם מורהו, הסבה לברנולי הצעיר סיפוק רב עד־כדי־כך שאפילו שלוש־עשרה שנה אחרי מותו של יקוב המשיך להתרברב בה. ב־29 בספטמבר 1718 שלח יוהן מכתב למתימטיקאי הצרפתי פייר רמון דה מוֹנמוֹר (1678 – 1719), ולא טרח כלל להסתיר את הנאתו:
אתה אומר שאחי הציג את הבעיה הזאת; אמת ויציב, אבל האם נובע מכך שהיה לו פתרון בשבילה? לא ולא. כאשר הציג את הבעיה לפי הצעתי (כי אני הייתי הראשון שחשבתי עליה), איש משנינו לא היה מסוגל לפותרה; אמרנו נואש וחשבנוה לבלתי־פתירה, עד שהודיע מר לייבניץ ברבים, בעיתון לייפציג של 1690, עמ' 360, כי עלה בידו לפתור את הבעיה אבל אין הוא מספר את הפתרון, כדי להעניק זמן לאנליטיקאים אחרים; והדבר הזה הוא שעודד אותנו, את אחי ואותי, לחדש את מאמצינו.
אחרי שנטל לעצמו בלי בושה את זכות הבעלים על עצם הצגת הבעיה, המשיך יוהן בשמחה גלויה לאיד:
עמלו של אחי עלה בתוהו; אשר לי, מזלי שיחק לי, כי מצאתי בי את המיומנות (אומר ולא אתפאר, כי מדוע עלי להצניע את האמת?) לפתור אותה במלואה… אמת היא שהדבר עלה לי במחקר אשר הדיר שינה מעפעפי במשך לילה תמים… אבל למחרת בבוקר רצתי בשמחה אל אחי, שעדיין התלבט באומללותו עם הקשר הגורדי הזה והעלה חרס בכפו, כי חשב תמיד בדומה לגלילאו שקו־השרשרת הוא פרבולה. חדל! חדל! אני אומר לו, אל תוסיף להתייסר עוד בניסיונך להוכיח את זהות קו־השרשרת עם הפרבולה, כי היא כוזבת מכול וכול… והנה אתה מדהים אותי בפסיקתך כי אחי מצא שיטה לפתרונה של בעיה זו… הנני ואשאלך, האומנם חושב אתה שאילו פתר אחי את הבעיה האמורה, היה מבטל את עצמו למעני ונמנע מלהופיע בין הפותרים, רק כדי להעניק לי את תהילת ההופעה לבדי על הבימה במעלת הפותר הראשון, לצד האדונים הייגנץ ולייבניץ?
אם היה לכם צורך בהוכחה שמתימטיקאים אינם אלא בני־אדם בסופו של דבר, הנה היא כאן, בסיפור הזה. אבל היריבות המשפחתית לא גרעה מאומה מהישגיהם של בני ברנולי. בשנים שלאחר פרשת קו־השרשרת המשיכו יקוב, יוהן ודניאל ברנולי (1700 – 1782) בדרכם, ומלבד זאת שפתרו בעיות דומות אחרות של מיתרים תלויים, גם קידמו את תיאוריית המשוואות הדיפרנציאליות בכלל, והציגו פתרונות לתנועותיהם של קליעים בתווך המתנגד למעברם.
סיפור קו־השרשרת ממחיש היבט נוסף של עוצמת המתימטיקה – אפילו בעיות פיסיקליות קלות־ערך לכאורה, יש להן פתרונות מתימטיים. אגב, צורתו של קו־השרשרת עצמו ממשיכה להרשים את מיליוני המבקרים בקשת השער המפורסמת של סיינט לואיס במיזורי. האדריכל הפיני־אמריקאי אֶרוֹ סָארִינֶן (1910 – 1961) ומהנדס הבנייה הגרמני־אמריקאי האנסקרל בַּנדֶל (1925 – 1993) עיצבו את המבנה הזה, שהיה לסמל, בצורה דומה לזו של קו־שרשרת מהופך.
הצלחתם המדהימה של המדעים הפיסיקליים בגילוי חוקים מתימטיים המושלים בהתנהגות הקוסמוס בכללותו עוררה מאליה את השאלה, האם אפשר או אי־אפשר למצוא עקרונות דומים ביסוד תהליכים ביולוגיים, חברתיים וכלכליים. האם המתימטיקה היא רק שפת הטבע, תהו המתימטיקאים, או שמא היא גם שפתו של טבע האדם? ואפילו אין בנמצא עקרונות אוניברסליים באמת ובתמים, אולי אפשר להשתמש לכל הפחות בכלים מתימטיים ליצירת מודלים של התנהגות חברתית, כדי להסבירה בסופו של דבר? בראשית הדרך היו מתימטיקאים רבים סמוכים ובטוחים ש”חוקים” המבוססים על גרסה זו או אחרת של החדו”א יוכלו לנבא בדיוק את כל אירועי העתיד, קטנים כגדולים.
זו הייתה, למשל, דעתו של הפיסיקאי המתימטי הדגול פייר־סימון דה לַפּלָאס (1749 – 1827). בחמשת הכרכים של ספרו מכניקה שמיימית סיפק לפלאס את הפתרון הראשון שהיה שלם כמעט לגמרי (אם כי מקורב בלבד) לתנועות השונות במערכת השמש. מלבד זאת, לפלאס היה האיש שהשיב על שאלה אשר נשגבה אפילו מכוחו של ניוטון הענק: מדוע זה מערכת השמש כה יציבה? ניוטון חשב שכוכבי הלכת, מחמת משיכת הכבידה ההדדית ביניהם, צריכים ליפול אל תוך השמש או לטוס ממנה והלאה אל מעמקי החלל, ולא נותר לו אלא להסתמך על יד אלוהים השומרת על שלמותה של מערכת השמש. לפלאס החזיק בדעה שונה במקצת. הוא העדיף שלא להסתמך על אצבע אלוהים, אלא פשוט סיפק הוכחה מתימטית לכך שמערכת השמש יציבה למשך פרקי זמן הרבה יותר ארוכים מכפי שחזה לה ניוטון. לפתרון הבעיה המסובכת הזאת הציג לפלאס פורמליזם מתימטי נוסף ששמו תיאוריית הטרידה, וזו אִפשרה לו לחשב את ההשפעה המצרפית של המוני הטרידות (הפֶּרטוּרבּציות) הקטנות במסלולו של כל כוכב לכת. לבסוף, כגולת הכותרת, הציג לפלאס את אחד מהמודלים הראשונים של עצם מקורה של מערכת השמש – לפי ההשערה הערפילית רבת־ההשפעה שלו, מערכת השמש נוצרה מהתכווצותה של ערפילית גזית.
לאור כל ההישגים המרשימים הללו, אולי אין פלא בכך שלפלאס הצהיר, בחיבורו מסה פילוסופית על הסתברויות, בתעוזה רבה:
כל האירועים, ובכלל זה גם אלה שבשל אי־חשיבותם דומה כאילו אינם נוהגים לפי חוקיו הגדולים של הטבע, הם תוצאות הכרחיות שלהם, ממש כמו סיבובי השמש. מתוך אי־ידיעת הקשרים המאחים אירועים כאלה אל מערכת היקום הכללית, היו שהציעו כי הם תלויים בסיבות עליונות או במקריוּת… עלינו לראות אם כן את מצבו הנוכחי של היקום כפועל יוצא של מצבו הקודם וכסיבת המצב שיבוא אחריו. אם נניח לרגע בינה שיש ביכולתה לחבוק את כל הכוחות המפעמים בטבע ואת המצבים השונים של הישויות שמהן הוא עשוי – בינה רחבה די הצורך לכפוף את כל הנתונים הללו לניתוח – הרי היא תחבוק באותה הנוסחה את תנועותיהם של הגופים הגדולים ביותר ביקום עם תנועותיו של הקל שבאטומים; כי לה, דבר לא יהיה אי־ודאי, והעתיד כמו העבר יהיו גלויים לפניה. רוח האדם, שעלה בידה להביא את האסטרונומיה לכלל שלמות, מציגה מושג קלוש בדבר בינה מעין זו.
למען הסר ספק, כשדיבר לפלאס על ה”בינה” העילאית המשוערת הזאת, הוא לא התכוון לאלוהים. בניגוד לניוטון ולדקארט, לפלאס לא היה דתי כלל ועיקר. כשנתן עותק של ספרו מכניקה שמיימית לנפוליאון בונפארטה, העיר הקיסר (ששמע כי אין שום זכר לאלוהים בחיבור זה): “מסייה לפלאס, שמעתי אומרים שכתבת את הספר הכביר הזה על מערכת היקום ולא הזכרת אף פעם אחת את בוראו.” לפלאס השיב מיד: “לא היה לי צורך להציג את ההשערה הזאת.” נפוליאון המשועשע סיפר על התשובה הזאת למתימטיקאי ז'וזף־לואי לַגרָאנז', והלה קרא: “אה! זוהי השערה יפהפייה; היא מסבירה דברים רבים.” אבל הסיפור אינו מסתיים כאן. לפלאס, כאשר שמע על תגובתו של לגראנז', העיר ביובש: “ההשערה, אדוני, אכן מסבירה את כל הדברים, אבל אינה מאפשרת לנבא שום דבר. כמלומד, עלי לספק לך יצירות המאפשרות ניבויים.”
במאה העשרים, התפתחותה של מכניקת הקוַונטים – התיאוריה של העולם התת־אטומי – הוכיחה כי הציפייה למצוא את היקום דטרמיניסטי לחלוטין הייתה אופטימית מדי. למען האמת, הפיסיקה המודרנית הוכיחה כי אי־אפשר לנבא, אפילו עקרונית, את תוצאתו של כל ניסוי. תחת זאת, התיאוריה רק מנבאת את ההסתברויות לקבלת תוצאות שונות. מצבם של מדעי החברה מסובך שבעתיים, בעליל, מחמת ריבוי הגורמים התלויים זה בזה, שרבים מהם שרויים באי־ודאות מרובה במקרה הטוב. ואכן, מלומדי המאה השבע־עשרה הבינו די מהר כי החיפוש אחר עקרונות חברתיים, שיהיו אוניברסליים כדוגמת חוק הכבידה של ניוטון, נועד לכישלון מלכתחילה. המצב נראה חסר סיכויים עוד יותר כאשר נמצא צורך לתהות על המתרחש בנפשותיהן של אוכלוסיות שלמות. אבל היו כמה הוגי דעות רבי־תושייה שלא אמרו נואש, אלא פיתחו אוצר חדש של כלי נשק מתימטיים חדשניים – סטטיסטיקה ותורת ההסתברות.
הסיכויים שמעבר למוות ולמסים
הסופר האנגלי דניאל דֶפוֹ (1660 – 1731), הידוע יותר מכול בזכות ספרו רובינזון קרוזו, חיבר גם יצירה על העל־טבעי ושמה ההיסטוריה הפוליטית של השטן. דפו, שראה ראיות למעשי שטן מכל עבר, כתב בספר זה: “בדברים ודאיים, כמו מוות ומסים, אפשר להאמין במשנה תוקף.” דומה שהמדינאי והמדען האמריקאי בנג'מין פרנקלין (1706 – 1790) החזיק בהשקפה דומה על הוודאות. במכתב שכתב בגיל שמונים ושלוש לפיסיקאי הצרפתי ז'אן־בטיסט לֶרוּאָה נאמר: “חוקתנו נכנסה לפעולה הלכה למעשה. הכול מבטיח, כמדומה, שהיא תחזיק מעמד; אבל בעולם הזה אין לומר על שום דבר שהוא ודאי, מלבד מוות ומסים.” ואמנם, דומה שמהלך חיינו אינו ניתן כלל לחיזוי, חשוף לאסונות טבע, רגיש לטעויות אנוש וסר למרוּתו של המקרה הסתמי. לא לחינם אנו מעניקים למקרה אצבע ואפילו יד, שלא לדבר על עיוורון; ביטויים כאלה מיועדים בדיוק להביע את העובדה שאנו חשופים לפני הבלתי־צפוי, ואיננו מסוגלים לשלוט בגורל. למרות המכשלות הללו, ואולי דווקא בגללן, מנסים מתימטיקאים, אנשי מדעי החברה וביולוגים, מאז המאה השש־עשרה, להתמודד במלוא הרצינות ובשיטתיות עם חוסר הוודאות. בעקבות ייסודו של תחום המכניקה הסטטיסטית, ולנוכח ההכרה בכך שעצם יסודותיה של הפיסיקה – כלומר מכניקת הקוונטים – מושתתים על אי־ודאות, הצטרפו למאבק גם הפיסיקאים של המאות העשרים והעשרים ואחת, בהתלהבות רבה. הנשק שבו משתמשים החוקרים במאבקם נגד היעדרו של דטרמיניזם מדויק הוא היכולת לחשב את הסיכוי לקבלתה של תוצאה מסוימת. הואיל ואין שום אפשרות לנבא תוצאה בפועל, אין ברירה אלא לחשב את ההסתברויות של תוצאות שונות. הכלים שפותחו כדי לקדם אותנו אל מעבר לספקולציות ולניחושים בעלמא – סטטיסטיקה ותורת ההסתברות – יוצרים את התשתית לא רק לחלק ניכר מהמדע המודרני, אלא גם למגוון גדול של פעילויות חברתיות, מכלכלה ועד ספורט.
כולנו משתמשים בהסתברות ובסטטיסטיקה, כמעט בכל החלטה שאנו מקבלים, גם אם אנו עושים זאת שלא ביודעין לפעמים. לדוגמה, אולי אינכם יודעים שמספר ההרוגים בתאונות דרכים בארצות הברית היה 42,636 בשנת 2004. אבל אילו עמד המספר על 3 מיליון, אני סמוך ובטוח שהייתם יודעים אותו. זאת ועוד, הידיעה הזאת הייתה בוודאי מניעה אתכם לחשוב היטב לפני כניסתכם למכונית בבוקר. מדוע שואבים אנו מהנתונים המדויקים הללו מידת־מה של ביטחון בהחלטתנו לנסוע במכונית? כפי שנראה עוד מעט, מרכיב מרכזי באמינותם הוא העובדה שהם מבוססים על מספרים גדולים מאוד. מספר ההרוגים ב־1969 בפריוֹ טאון שבטקסס, שכל אוכלוסייתה הייתה אז 49 נפשות, לא היה משכנע אותנו באותה המידה. הסתברות וסטטיסטיקה הן החצים הכי חשובים באשפתם של קשתי הכלכלה, של היועצים הפוליטיים, של הגנטיקאים, של חברות הביטוח ושל כל מי שמנסה להסיק מסקנות משמעותיות מתוך כמויות גדולות של נתונים. כשאנו מדברים על כך שהמתימטיקה התפשטה גם לתחומים שלא נכללו בעבר במסגרת־הגג הקרויה מדעים מדויקים, כמעט תמיד היא עשתה זאת דרך הפתחים אשר פתחו לפניה תורת ההסתברות והסטטיסטיקה. כיצד נולדו השדות הפוריים הללו?
הסטטיסטיקה – המילה לקוחה מאיטלקית: stato פירושה “מדינה”, ו־statista הוא מי שעוסק בענייני מדינה – התייחסה בראשיתה לעצם איסופן של עובדות על־ידי פקידי ממשלה. את העבודה החשובה הראשונה בסטטיסטיקה במובנה המודרני של המילה עשה חוקר שלא מן השורה הרגילה – חנווני בלונדון של המאה השבע־עשרה. ג'ון גרוֹנט (1620 – 1674) הוכשר במכירת סדקית: כפתורים, מחטים ואף וילונות. מכיוון שעבודתו הותירה בידו שפע של זמן פנוי, למד גרונט לטינית וצרפתית בכוחות עצמו, והחל להתעניין בשטרות התמותה – הודעות שבועיות על מספר הנפטרים, לפי קהילות כנסייתיות – שהתפרסמו בלונדון מאז 1604.
פרסומם של דוחות אלה נוסד בראש ובראשונה לספק התרעה מוקדמת בדבר סימנים לפריצתן של מגיפות קטלניות. בהסתמך על המספרים הגולמיים הללו החל גרונט להבחין הבחנות מעניינות, שהביאו בסופו של דבר לפרסום ספרון בן שמונים וחמישה עמודים בשם תצפיות טבעיות ופוליטיות הנזכרות במפתח דלקמן, בהתבסס על שטרות התמותה. באיור 32 תמצאו דוגמה לטבלה מספרו של גרונט, המפרטת לפי סדר הא”ב לא פחות משישים ושלוש סיבות מחלה ומוות. בהקדשה שהופנתה אל נשיא החברה המלכותית ציין גרונט כי הואיל ועבודתו נוגעת “לאקלימים, לארצות, לעונות, לפריון, לבריאות, לחולי, לאריכות ימים וליחס בין הזוויגים ובין הגילים של האנושות,” זוהי בעצם מסה בחוכמת הטבע. ואכן, גרונט לא הסתפק רק באיסוף הנתונים ובהצגתם. לדוגמה, על־סמך בחינה של המספר הממוצע של הַטְבָּלות ושל קבורות זכרים ונקבות בלונדון ובקהילה הכפרית רוֹמזי שבנפת המפשייר, הוכיח גרונט לראשונה את יציבותו של יחס הזוויגים בלידה. ביתר פירוט, הוא מצא כי בלונדון נולדות שלוש־עשרה נקבות לכל ארבעה־עשר זכרים, וברומזי – חמש־עשרה נקבות לכל שישה־עשר זכרים.
ראוי לציין כי הוא הוסיף והביע, בראיית נולד מרשימה, את שאיפתו כי “התיירים ישאלו אם כך הדבר גם בארצות אחרות.” ועוד הוסיף כי “ברכה היא לאנושות, שכן בעודף הזה של זכרים ניצב מחסום טבעי לפוליגמיה: כי במצב הזה לא יוכלו נשים לחיות באותו יחס מספרי ובאותו שוויון של הוצאות עם בעליהן, כאשר הן חיות כאן ועכשיו.” בימינו, היחס המקובל בין יילודים ויילודות הוא 1.05 בקירוב. ההסבר המסורתי לעודף הזה של זכרים הוא שאמא טבע מטה את כפות המאזניים לטובת לידת זכרים משום שהזכרים, כעוּבּרים וכתינוקות, חסונים מעט פחות מהנקבות. אגב, מטעמים שאינם ברורים לגמרי, הפרופורציה של בנים זכרים הולכת ויורדת במקצת מדי שנה, גם בארצות הברית וגם ביפן, מאז שנות השבעים של המאה שעברה.
51 תגובות
נראה שאינך מבדיל בין סובייקט לאובייקט. אם קיים משהו שגורם לנו לקרוא לו בשם אלקטרון, זה לא משנה אם החתול יקרא לו אלקטרון. לא הידיעה שלנו מקימה את האלקטרון לקיום (הסכמנו על הנקודה הזאת שהקיום איננו תלוי), הרי איננו יודעים מה זה אלקטרון אנו יודעים להגדיר תופעה שאנו קוראים לה אלקטרון אך במוסווה אנו בעצם מתכוונים לאותו אובייקט שגרם לנו לחוות את התופעה הזו של אלקטרון, איננו יודעים מה הוא אותו אובייקט כיוון שהוא מחוצה לנו (המדע מבוסס על הפרכות).
ובאותה מידה אם החשיבה היא משהו אובייקטיבי נדרש היה ממנה להיות בלתי תלויה באיזשהו תודעה. אך מצד שני אנו רואים שהחושב הוא זה שחושב מחשבות ממש. כלומר המחשבה כן תלויה בחושב, והחושב מודע לעצם המחשבה ולא לאיזו תופעה שולית של מחשבת על (=אלוהים).
חשיבה לא יכולה להיות שגויה, חשיבה יכולה להיות נחשבת (שמישהו חושב אותה) בלבד. שגויה/לא שגויה זה סתם תגיות שאנו מדביקים למחשבות ספציפיות לפי כללים שקבענו לעצמנו.
המילטוניאן:
אני חושב שכל הכניסה שלך לנושא היא מתנשאת.
דע לך שיש עוד הרבה דברים שיכולתי לכתוב ולא כתבתי. הסתפקתי בציון עובדות שכל אחד יכול לבדוק.
עשיתי זאת כמענה לשאלה ואתה – במקום לשתוק ולתת לדיון להישאר ענייני – עם סטיות קטנות פה ושם כתוצאה מן העובדה שכולנו בני אדם – החלטת להפוך את הדיון לדיון בשאלה מהי צניעות.
ובכן – לדעתי – הביטוי העליון של חוסר צניעות הוא הטפת המוסר.
נקודה:
קודם כל – קיומה של החשיבה הוא אוביקטיבי גם אם לא כל אחד מודע אליה – בדיוק כשם שקיומו של האלקטרון הוא אובייקטיבי (ולשיטתך – לך תסביר לחתול את האלקטרון).
חוץ מזה – בכלל לא דיברתי על זה – אינני מתנה את קיומה של המתמטיקה בקיומה של חשיבה (והרי טענתי שהיא הייתה קיימת גם ללא בני אדם).
יש הבדל עצום בין הלוגיקה והמתמטיקה לבין החשיבה ואחד מן ההבדלים (מעבל לתלות בקיוצו של חושב שהיא נחלתה של החשיבה בלבד) הוא שהחשיבה יכולה להיות שגויה והלוגיקה לא.
מיכאל, האם לשיטתך קיים ביקום כאב האצבע ברגל שהוא לא תלוי בבן אדם שירגיש אותו כשדורכים עליו?
תראה, אמנם חוקי השימור של החומר חלים במובן מסויים ודומה גם על החשיבה הלוגית. ולכן נראה שניתן לומר על שניהם שהם קיימים. אלא שהקיום של הירח הוא אובייקטיבי (גם חתול באינטרקציה עם הירח) והקיום של החשיבה הוא סובייקטיבי(לך תסביר לחתולים את תורת היחסות) . לומר שהסובייקט קיים כמו האובייקט זה נוגד את כל סגנון החשיבה המדעית שאני מכיר.
מיכאל רוטשילד:
אם אתה היית קורא אותו דבר שמישהו אחר כתב היית חושב שהוא טיפה אבל טיפה קטנה קצת קצת….. תמלא את התואר בעצמך.
אם אתה רציני אל תעשה צחוק מעצמך.
ולדעתי ה-סטודנט כימיה וחברים שלי: הוא בס"כ איזה ילד שמנסה לפתות אותך ליפול ברשת ונפלת.
למגיב 45 שלא שווה התייחסות, דווקא אנשים כמו מיכאל רוטשילד , אבי העורך, רן לוי צריך להכניס
לתכניות טלויזיה !! די נמאס מכל הסלבס הריקניים שממלאים את כל תכניות הטלויזיה וכל הזמן יש
כתבות משעממות עליהם מה אכלו , מה שתו, מה לבשו שמפוצצות את אתרי האינטרנט,
יש אחוז די גדול של אנשים עם קצת שכל כמו סטודנטים ואקדמאים ומתעניינים וכו’ שלפחות נהנים מאתר כמו זה.
ולמיכאל רוטשילד אל תתייחס למגיב 45 ואתה באמת מדהים עם כל הידע שלך !!
סטודנט:
רואה למה התכוונתי?
אתה שואל אותי שאלה, אני עונה ביושר ויש אנשים שזה כואב להם.
בגלל זה באמת היססתי אם לענות אבל שיהיה.
מיכאל רוטשילד:
קצת צניעות
סטודנט:
תודה על דבריך החמים.
אני פנסיונר של צה"ל וגם פנסיונר הייטק.
הרקע הרשמי שלי הוא במתמטיקה ומדעי המחשב אבל מאז שעמדתי על דעתי, הדבר שריתק אותי ביותר היה הניסיון "להבין את העולם".
נראה לי שחלקה השני של תגובה זו:
https://www.hayadan.org.il/meta-beuty-2911082/#comment-144121
מתאר לא רע "מה מריץ אותי".
הידע שלי בתחומים רבים ומגוונים הוא כנראה תולדה של מוטיבציה זו.
כמובן שמוטיבציה בלבד כנראה שאינה מספיקה ולכן אני מרשה לעצמי לחשוב שניחנתי גם בכישרון מסוים.
כישרון זה גם בא לידי ביטוי – הן בשנות שירותי הארוך בצבא (מעבר לקידום בסולם הדרגות זכיתי פעמיים בפרס איל"א ופעם בפרס קשר"ר לחשיבה יוצרת), הן בלימודי האקדמיים (למשל, את התואר השני במדעי המחשב סיימתי תוך שנה אחת בהצטיינות יתרה) והן בעובדה שפטנטים שמכרתי שחררו אותי לחלוטין מעול הפרנסה.
כפי שבוודאי נוכחתם, אני מנסה להשפיע גם על אנשים אחרים – דבר שגורר אותי לא פעם להתכתשויות בוץ.
יש לי אלרגיה חריפה לביטויים של חוסר יושר וכאשר אני נתקל בכאלה – אינני מתאפק.
אם אני משתכנע שמישהו משקר (אומר דבר שאינו יודע או אפילו דבר שהוא יודע שאינו נכון) אני אומר לו שזאת דעתי. אם מישהו מביע זלזול חסר בסיס באחרים – אני מוצא לנכון לתת לו לטעום מאותו מטעם. אנשים נוזפים בי על כך מדי פעם אבל אני חושב שזו הדרך הנכונה לנהוג.
יש מושג שנקרא "ענישה אלטרואיסטית" – אותה תופעה שמעודדת אותנו להעניש עבריינים גם על חשבון אי נוחות או אפילו סיכון של עצמנו. כנראה שהתנהגותי בעניין ביטויי חוסר היושר היא ביטוי לתכונה זו ואכן אי הנוחות שהדבר גורם לי היא רבה. זה לא פשוט להתמודד עם אנשים שמראש היה לי ברור שאינם ישרים.
לכן – תגובות מעודדות כשלך חשובות לי מאד. זו אתנחתה מתגמלת ברצף של מלחמות מתסכלות.
אין לי אתר אינטרנט.
שוב – תודה מקרב לב!
מיכאל
למיכאל רוטשילד ! צריך לתת לך תכנית טלויזיה , בכל נושא אתה יודע לענות !
תודה על תגובה 34עבורי
אנחנו מאוד מעריכים שאתה עונה ומתאמץ לענות ! בכל מאמר כמעט שמופיע !!
כולם לומדים מההערות והתשובות שלך , רבים מהחברים ובטח עוד הרבה אנשים.
מאיזה תחום אתה? ספר לנו קצת על עצמך יש לך אתר?
אייל.א:
זה פשוט לא נכון.
כשאני אומר אחד ועוד אחד הם שתיים אני בסך הכל נוקט בשיטת ביטוי מקוצרת.
במודולו 2 אפשר לעבוד גם בעולמנו וגם בו, מודולו 2, אחד ועוד אחד הם אפס.
האם באמת חשבת שלא חשבתי מראש שיהיה מישהו שיקפוץ עם ההסתייגות הזאת?
האם באמת חשבת שהיא נכונה?
יאיר שימרון:
האם מפריע לך שהצדק מנצח?
הסברתי את הדברים טוב מאד ואנסה לנסח אותם למענך בעוד צורה.
קיומן של הפיזיקה והכימיה בעולמנו הוא חלק מתיאורו של עולמנו.
זה מה שמגדיר את נקודת המוצא שממנה אפשר להשתמש במתמטיקה כדי להסיק מסקנות.
אי אפשר להסיק משיקולים מתמטיים בלבד שתהיינה כימיה ופיזיקה.
כפי שציינתי – המתמטיקה עוסקת בכל העולמות האפשריים וכדי שתוכל להשתמש בה להסקת מסקנות על עולמך הספציפי אתה צריך לתת לה נתונים על עולם זה.
לדרוש ממנה לתת לך תחזיות על משהו שאינך מוכן לומר לה מהו – זה מצחיק.
לגבי השפה – כבר הסברתי שהמתמטיקה אינה יכולה לעבוד ללא נתונים.
מעבר לכך – יש את הבעיה של העדר הדטרמיניזם.
אינני יודע מה בדיוק אתה מנסה לומר בנקודה זו כי – ראה זה פלא – את מה שלא ניתן להסיק באמצעות המתמטיקה – לא ניתן להסיק בשום אופן אחר.
מיכאל,
ארצה להתייחס לטענתך מתגובה 39:…"לדעתי לא ייתכן עולם שבו אחד ועוד אחד לא יהיו שניים…".
לפני כן גילוי נאות- קראתי רק את הכתבה ואת תגובה 39.
עולם שבו המתמטיקה מבוססת על שדה המספרים מגודל 2 (מה שנקרא Z2, מכיל {1,0}). 1+1=0.
מה לעשות, אבל הוא חוקי למהדרין. כל אותן אקסיומות אלגבריות שעליהן אנחנו מבססים את כל המתמטיקה שלנו, משמשות גם אותו.
מיכאל, אתה מוכרח תמיד לסיים בניצחון קטן? מהי בדיוק אותה נקודת מוצא שלא גיליתי לך? ככל שלי ידוע אין כל אקסיומות לגבי תיאור השפה.
ומה בדיוק קצת מצחיק בנקודה שאין בינינו חילקי דעות על תרומת המתימטיקה באופן עקיף לארכיאולוגיה?
ולבסוף, הטענה שאפשר לחזות בודאות רבה שעשר לא תייצג תשע: אבל האם היית יכול לחזות באמצעות כלי מתימטי שמילה או ביטוי ישנו את משמעותם באופן כל שהוא? יש היבטים בשפה שכלים – בעיקר סטטיסטיים – יכולים לספר דבר מה. אבל עיקרה של השפה הוא יצירת משמעויות, ולגבי זה אין כלי מתימטי יעיל.
אדי:
הזהות במתמטיקה מושלמת וכל אי התאמה היא תוצאה של טעות של אחד הצדדים – טעות שבה יכול הצד השני לשכנע אותו ללא קושי.
וכי למה לקרוא למתמטיקה ביטוי של תבונה אם אינה נכונה? האם זו תבונה כל כך גדולה להאמין בדבר לא נכון?
לדעתי לא ייתכן עולם שבו אחד ועוד אחד לא יהיו שניים ויהיה אלוהים אשר יהיה – גם לו לא יהיה מנוס מעובדה זו.
מיכאל רוטשילד:
לאלוהים הזה אין סבה ואין מניע להביא את כל המתמטיקאים לאותן מסקנות ואין לו סיבה לגרום להם לאשליה כלשהי.
האלוהים הזה בורא – בין היתר תבונה (או ליתר דיוק – אוסף שך תבונות של סוביקטים), כחלק בלתי נפרד מכלל הבריאה, אם גם ייחודי במידה מסוימת. התבונה הזו (כל תבונה אינדיבידואלית) נמצאת ביחס כלשהו של התאמה לבורא ולבריאה. אחת מהתוצאות (‘הנהדרות’) היא תורה מתמטית זו או אחרת, והתאמתה המסוימת לקטע מציאות כלשהו. זה הכל. מתמטיקה היא יצירה תבונית, פרי התיחסות התבונה לאוביקטים הסובבים, ולא ישות מציאותית.
לא טענתי שכל התרבויות, באופן כולל, מתכנסות לאותה תרבות- ואני מסכים איתך בענין זה. בין תרבויות שונות ישנן בד”כ הקבלות או דמיות תרבותיות, ורק לעיתים זהויות בתוצר תרבותי זה או אחר. יתכן שבעתיד זה התרבויות תתכנסנה לתרבות על אחידה פחות או יותר (אם הגרעין האירני/פקיסטני/צפון קוריאני או של טרוריסט או מדינאי מטורף תורן או התפרצות גמה קרובה או מטאור ענק לא יקלקלו בדרך).
במתמטיקה רמת הזהות היא גבוהה יחסית (לא מושלמת אמנם) – זה לא אומר שיש כאן משהו שיש לו קיום מציאותי – אלא זה נובע מעצם התבניתיות של המתמטיקה.
שמתי לב לכך שהשאלה הרטורית במשפט האחרון של תגובתי הקודמת הוא בדיוק תמונת ראי של השאלה שהחתול שאל את עליזה.
זה הגיוני כיוון שהם היו בארץ המראה ואנחנו בארץ שממול למראה.
לותח
יאיר שימרון:
כפי שהמאמר מזכיר – יש במציאות תחומים שבהם העולם אינו מתנהג באופן דטרמיניסטי.
תרומת המתמטיקה לטיפול בתחומים אלה היא תורת ההסתברות.
כמובן שלפני שאפשר להפעיל מתמטיקה כדי לחזות משהו נחוץ ידע מספיק ממצה של נקודת המוצא.
בכל הדוגמאות שתיארת יש בעיה בנקודה זו.
זו הסיבה לכך שיכולת השימוש שלנו במתמטיקה לצורכי חיזוי (שזה שונה מיכולת החיזוי של המתמטיקה) בתחומים אלה מוגבלת, באופן עקרוני, רק לחישובי הסתברויות ובאופן מעשי – אפילו לפחות מכך.
ניתן, למשל, לומר בוודאות גבוהה למדי שהמילה עשר לעולם לא תשמש לייצוג המספר תשע.
זה קצת מצחיק לדרוש מהמתמטיקה יכולת ניבוי בעולם שבו פועלות הכימיה והפיזיקה מבלי להעזר בכימיה ופיזיקה.
הרי המתמטיקה חוקרת את כל העולמות האפשריים ובעולם שבו הכימיה והפיזיקה אחרות או אינן קימות אמורה המתמטיקה להוביל אותנו לניבוי שונה!
המתמטיקה היא דרך להסיק מסקנות מאוסף אקסיומות שאמורות לייצג את העולם הספציפי שאותו רוצים לחקור. אם אינך מוכן לגלות לי את נקודת המוצא – איך אתה מצפה שאסיק מה נובע מנקודת מוצא זו?
יש עולמות שהמתימטיקה לא יכולה להועיל בהם כלום. למשל בהיבט המרכזי והחשוב ביותר של הדיבור והשפה בכללה. לא קיימת היום שיטה מתימטית וקרוב לודאי שלא תהיה בעתיד שיכולה לנבא ואו לתאר את התפתחות המשמעויות בשפה. לדוגמה אחת ממיליארדים, ניקח את המילה הפשוטה עשר. מילה מתימטית למהדרין. לפני כארבעים שנה משמעות המילה הייתה כמות מסויימת, שאפשר להביעה בדרכים רבות, כגון תשע ועוד אחד, מאה פחות תשעים, ןעוד הרבה. לפני כשלושים שנה נוספה למילה זאת משמעות: מצויין. אנחנו יכולים בקלות להבין את הקשר בין שתי משמעויות המילה. אבל אילו נתבקש אדם לנבא לפני ארבעים שנה איך עתידה המילה עשר להשתנות, הסיכוי להצלחתו היה קרוב לאפס. צריך לזכור שבדיעבד, לנוכח התוצאה הידועה, נדמה כאילו היה סיכוי לניבוי כזה. זהו מקרה "קל". בביטויים מטאפוריים אחרים הסיכויים יורדים עוד יותר ומשתווים לאפס.
מחקר הלשון הוא חלק ממדע הטבע, שכן הדיבור הוא חלק מהותי של האדם.
גם במדעים אחרים אין למתימטיקה תועלת, למשל בארכיאולוגיה (אלא כשהיא נעזרת בפיזיקה ובחימיה) ולמיטב הבנתי גם אין כל סיכוי שכלים מתימטיים יוכלו לנבא ולהסביר את ההשתנות של בעלי החיים.
סטודנט:
וכי מדוע זה נחוץ מחוקק כדי שיהיו חוקים?
האם כדי שאחד ועוד אחד יהיו שתיים צריך שמישהו יחוקק זאת או שזה דבר שכל מחוקק שלא יקום לא יוכל להימנע ממנו?
לדעתי האפשרות השנייה היא הנכונה.
בכלל – אם מתחילים עם זה שצריך שיהיה מישהו בשביל שיהיה משהו הרי אי אפשר לגמור לעולם.
אם צריך מחוקק לחוקים אז בטח צריך יוצר למחוקק ויוצר ליוצר וכן הלאה. זה נשמע פשוט טפשי.
אם מנסים להתחמק ולומר שהמחוקק הוא נצחי הרי שבעיני הרבה יותר סביר לומר שהחוקים הם נצחיים.
כשמדברים על ההבדל בין המתמטיקה למדעי הטבע אומרים שמדעי הטבע חוקרים את העולם כפי שהוא.
המתמטיקה חוקרת את כל העולמות האפשריים (שהעולם כפי שהוא הוא רק אחד מהם).
במילים אחרות – בכל עולם שלא יהיה – חוקי המתמטיקה חייבים להיות תקפים.
זו גם התשובה לשאלה בדבר התאמת המתמטיקה למה שקורה בעולם.
טענתי היא שבכל עולם שלא יהיה – חייבת המתמטיקה לפעול והיא תתאים לתיאור החוקים השולטים בו.
זוהי תחושתי העמוקה ואני משוכנע בה באמת (בניגוד לרבים מן הדתיים שמסיבות שונות ומשונות רק משימים עצמם משוכנעים בקיומו של הבורא).
בנימין:
מה שאתה מתאר הוא אכן אתגר אמיתי ואולי באמת האתגר האמיתי בהא הידיעה.
עוד לא יודעים לעשות זאת וייקח זמן עד שידעו – אבל ללא ספק מתקדמים לכיוון זה.
לפחות בתפישת עולם זו יש אתגר ולכן יש התקדמות.
תפיסת העולם של אמונה באלוהי הפערים נוטה להגן על הפערים כדי שיהיה לבורא איפה לגור או במילים אחרות – עוצרת כל התקדמות.
אדי:
החידה שהספר מנסה להעלות. כיצד נוצרים התיאומים בין תבניות מתמטיות לבין תהליכים פיסיקאלים.
ולמעשה גם בין תבניות מתמטיות לבין עצמן. מהי החוקיות המתאמת בין נושאים שונים לכאורה לחלוטין.
נושאים שצצים בתחומי מחקר שונים לגמרי במתמטיקה ולפתע מתבררת הלכידות המפתיעה שלהם.
החוקיות הגורמת למתמטיקה להיות כפי שהיא. החוקיות שיוצרת את הלכידות הקשרים וההתאמה בין תחומים מתמטיים שונים. אפשר לומר הרצון לעמוד על פיענוח חידת החוקיות של החוקיות.
מיכאל רוטשילד:
האתגר האמיתי אינו לעשות משהו שנראה “כאילו” נראה “דומה” ופועל בערך כמו אלגוריתמים אחרים פחות או יותר.
האתגר האמיתי לגזור את המתמטיקה שבאמצעותה האבולוציה יצרה מוחות.
ללא הבדל אם מוח של ג’וק חתול או בן אדם. או מספיק ששנבין באופן מעשי את התוכנה המנהלת תא חי במסגרת ביולוגית שלמה. כלומר שנוכל באמצעות התובנה הזאת ליצור ביולוגיה מלאכותית ממצב של יסודות כימיים למערכת מורכבת כל שהוא בתהליך אחד.
זו תיהיה פריצת דרך ממשית. להבין את המוח של האבולוציה להבין כיצד היא מצליחה לליצור תיאומים מקנה מידה קטן מאד לגדול מאד.
אם המתמטיקה הייתה קיימת , יש מחוקק לחוקים האלה.
על החוקים האלה מושתת העולם כך השכל הישר אומר,
אני מאמין באבולוציה אבל דווקא הקטע הזה של חוקי המתמטיקה לא מסתדרים לי כי זה אומר
שיש מחוקק.
האבולוציה צריכה למצוא פתרון או שיש כנראה בטוח יש, אז תסבירו לי , מיכאל רוטשילד תהיה בין המסבירים, תודה.
אדי:
אבל איזו סיבה יש לו לאלוהים להביא את כל המתמטיקאים לאותן מסקנות (ולא לאורך זמן אלא באופן מידי).
איזו סיבה יש לו לגרום להם לאשליה כאילו נימוקים הגיוניים הובילו אותם למסקנותיהם.
הסיבה היחידה המתקבלת על הדעת – גם אילו אלוהים היה קיים – היא שאין לו ברירה כי המתמטיקה קיימת ונכונה גם בלעדיו.
אין זה נכון שתרבויות מתכנסות מעצמן לאותה תרבות. יש כאן השפעה – לפעמים באלימות – של תרבות אחת על אחרת.
יאיר:
כשאתה אומר שהקישור שלי הוא מגוחך ואינך מנמק זאת כלל – איך אתה מצפה שאענה לך?
במקום לנמק את טענתך המגוחכת אתה מעלה בפני דרישה מגוחכת להציג אלגוריתם אחר תוך התעלמות מגוחכת מן ההסבר שכבר נתתי למגוחך הקודם כשאמרתי לו שאפילו מודל מתמטי של הכימיה עדיין לא מצוי בידינו.
מיכאל, כשמוצגות טענות המתייחסות ישירות לדבריך, מוטב שתראה שהן מוטעות.
מיכאל רוטשילד,
לפוסט שלך ב – 22 :
דעתך היא ללא ספק דעה מכובדת ונימוקיה עימה.
הנושא כולו הוא נושא ראוי שיכול להתפתח כדיון מתמטי פילוסופי – כמאמר. אולי תכתוב אחד כזה?
אני מצידי השתדלתי לנמק את עמדתי כפי מיסת הזמן הנתונה בידי – ולצערי בימים אלה היא אינה רבה.
אסתפק לכן רק בהערה ענינית אחת: אכן, צדקתי בהשערתך בי לא אוכל להסכים עם אף אחת מהאפשרויות שהעלית ( האדם הוא מכונה; למתמטיקה קיום אוביקטיבי).
אבל שים לב שמבחינתי קיימת גם אפשרות שלישית הרמוזה בתגובתי 21 בקטע בלפני אחרון (אלוהים קיים, הווא בורא את התבונה האנושית – וכאן אוסיף: בצלמו). לפי אפשרות זו – אין פלא שבטווח היסטורי המתמטיקה יוצאת ‘אחידה’ פחות או יותר, כמו שאין פלא שתרבויות נוטות, בטווחים היסטוריים ארוכים, להגיע להשגים תרבותיים דומים או קרובים, ולפעמים גם זהים.
ואינני משתמש כאן באלוהים כדי למלא ‘פערים’ – מושג האלוהים לא נוצר כאן אד הוק כדי לתרץ קושיה מקומית זו או אחרת.
למעשה, המהלך הזה עשוי להיות בסיס לארגומנט המצביע על הקיום ו/או ההכרח הרגולטיבי ו/או ראיה לאלוהות יוצרת/יצירתית, תלוי איך בונים את הארגומנט. אוכל לקרוא לו “הארגומנט שמן המתמטיקה”… . זאת בדומה לארגומנטים אחרים הקשורים לתבונה האנושית – למשל ‘הארגומנטציה מן המוסר’ שקאנט בנה, וכל הוריאציות המודרניות של הארגומנטציה מהסוג הזה.
יאיר:
מה שמגוחך הם דבריך.
נקודה:
במילים אחרות:
בעולם שבו אנחנו חיים – אנחנו לוקחים דברים קיימים – כמו חומרים וחוקי הטובע ויוצרים דברים חדשים שמתקיימים בפועל רק אחרי שיצרנו אותם בשעה שלפני כן הם היו קיימים רק בפוטנציה (כמשפט מתמטי ש"אם יעשה כך וכך תתקבלנה תוצאות כאלו וכאלו.").
מיכאל, אתה כל כך אוהב מתימטיקה ובוחן את המציאות דרך הפריזמה המפשטת שלה. הקישור שנתת להראות אלגוריתם באבולוציה הוא פשוט מגוחך, ככל שהוא מציג עבודה יפה במתימטיקה.
אתה צריךל הראות אלגוריתם שיוכל לנבא או לפחות לתאר בדיעבד איך חיה קטנה הופכת לחיה ענקית עם אף עצום, איך מקוף יוצאים גם אדם וגם שימפנזה, איך חיפושיות הופכות לדבורי דבש. אין אלגוריתם כזה.
וגם אין אלגוריתם שיכול לנבא או להסביר בדיעבד את התפתחות המטפוריקה הדיבורית, למשל איך חבל על הזמן הופך לחבל על הזמן ועוד אין ספור ביטויים.
ויש עוד הרבה בעולם שהמתימטיקה לא יכולה לתאר.
אם אתה משתמש במילה קיום כפי שאני משתמש עליך להבין שמה שקיים גם ללא מיקרוסופט הוא אמיתות הטענה ש"אם יבנו מחשבים מן הסוג שאינטל בנו ואם יכתבו תכנות כפי שמיקרוסופט כתבו אז תכנות אלו תתנה את התוצאות שהתכנות של מיקרוסופט נותנות."
זו טענה מתמטית והיא הייתה קיימת ונכונה גם ללא בני האדם.
דעתי היא שאתה משתמש במילה קיים באופן שבו אני משתמש, רק שאתה טוען על דברים שאינם קיימים שהם קיימים.
לדוגמה, אתה טוען שהמתימטיקה קימת גם ללא מחשבה שתהגה אותה (וזה בהחלט אותו מובן של קיום שבו אני משתמש).
ולכן שאלתי אם אתה חושב שגם התוכנות שמייקרוסופט פיתחו או שיפתחו קיימות גם ללא מחשב שמריץ אותן. או בכלל כל תוכנה אפשרית קימת.
אדי:
כמובן שאינני מסכים עם דעתך ואני מניח שאם תחשוב על השאלה "איך זה שכל המתמטיקאים מגיעים לאותן מסקנות מתמטיות?" תהיה מוכרח להביא כהסבר אחד משני הסברים שאת שניהם אתה דוחה.
האחד שהאדם הוא מכונה ואין לו יכולת בחירה ולכן יוצאת לכולם אותה מתמטיקה.
השני הוא שיש למתמטיקה קיום אובייקטיבי.
לא סתם הבאתי את העובדה הזאת בתגובתי הקודמת אבל אינני מתכוון להתחיל בוויכוח ארוך אתך כי ברור לי שהוא לעולם לא יסתיים.
בנימין,
אני מבקש להסביר את דעתי בתגובה 2.
הגיאומטריה של אאוקלידס מניחה מרחב שטוח. מכאן, כידוע, עולות כמה ‘אקסיומות’, מהן נגזרת הגיאומטריה האאוקלידית.
רימן ולובצ’בסקי, כ”א מהם מניח מרחבים עקומים, מהן עולות אקסיומות וגיאומטריות שונות – שונות מהגיאומטריה האאוקלידית.
כל הגיאומטריות ‘נכונות’ באותה מידה – ככל שהן לכידות, עקיבות ומקימות שלמות לוגית פנימית בין תמונת העולם הבסיסית שלהן, האקסיומות והמשפטים הנגזרים. בסופו של דבר, כל אחת מהגאומטריות היא נגזרת של תמונת העולם הפיסיקלית עליה בחרו מתמטיקאים להשתית אותה.
בדומה לכך, תאוריות מתמטיות שונות, כ”א מהן היא ספקולציה לוגית המתבססת על תפיסה של תמונת עולם פיסיקלית, או על מושג נגזר או מערכת מושגית הנגזרת מתמונת עולם זו. הן גם מתפתחות ע”י ‘הדמיה’ רעיונית שיש בה גם יסודות פיסיקליים. תפיסת העולם הזו וספקולציה הלוגית הזו – הן הפשטות, ברמה זו או אחרת, של המציאות.
ללא ‘תמונת עולם’ כנ”ל – אין התחלה, אין קיום, ואין בסיס לכל מתמטיקה שהיא – ומאידך – אין מתמטיקה ‘אחת’ ואין מתמטיקה ‘אחת’ שבאפשר, שרק היא נכונה.
לכן כל מתמטיקה אינה יישות מציאותית, אלא מערכת מושגים וקישורים רעיונית גרידא. מתמטיקה – כל מתמטיקה – אינה ‘קיימת’ על מנת ‘להתגלות’ (או לא להתגלות) אלא היא ישות רעיונית הנוצרת, נוצרת ע”י התבונה האנושית בתהליך הכרתי, רציונלי ויצירתי.
מאידך, מאחר שהיא נובעת מתפיסת המציאות (- כל תאוריה מתמטית מהתפיסה המסוימת שלה את מציאות – ) והיא משתכללת בדרך של הפשטה וספקולציה – היא עשויה בהחלט להתאים לתאור קטע או קטעים מסוימים של מציאות. מכאן יעילותן של תאוריות מתמטיות שונות בתאור קטעי מציאות מסוימים. אבל בדיוק מאותה סיבה – תאוריות מתמטיות מסוימות אינן מסוגלות לתאר קטעים אחרים של המציאות. מסתבר, שהמציאות תעלה תמיד על כלל המתמטיקות הנתונות, מאחר שתפיסת המציאות ע”י היכולות האנושיות – תמיד מוגבלת, ואף היכולת היצירתית בכל נקודת זמו נתונה אינה ממצאת את כל הפוטנציאל שלה.
לסיכום נקודה זו, שיטה מתמטית אינה יש מציאותי נתון, או מין אידיאה אפלטונית, אלא מערכת מושגים וקישורים רעיונית, פרי התבונה וכוחותיה. וממילא ברור מדוע בכלל שיטה מתמטית הולמת קטע מציאות כלשהו, ומדוע שיטות מתמטיות מסוימות מתארות קטעי מציאות מסוימים, ולא קטעי מציאות אחרים, והפוך.
בדומה לכך – אין ישות מציאותית שהיא ‘חוק’ פיסיקלי; החוק הוא רק מה שמצטיר בתפיסתנו ובהבנתנו האנושית כדימוי תבניתי של עצם קיום החומר ופעולתו. החומר הפיסיקלי ‘מתנהג’ כפי שהוא מתנהג לא מפני שהוא כפות ל’חוק’ – אלא פשוט מפני שהוא כזה ביישותו, והתנהגותו מתרחשת כפי שהיא מתנהגת – מעצם ככותו.
עד כמה שהמתמטיקה היא דבר נהדר (- ואכן המתמטיקה, על כל התאוריות הקימות ושעוד תיוצרנה, היא ‘דבר נהדר’ – ) והיא מצליחה בדרגה גבוהה, אם גם לא מושלמת, לתאר מציאויות פיסיקליות – הרי זה מפני שהתבונה האנושית היא ‘דבר נהדר’. והיא כזו לא רק בזכות היצירים המתמטיים שלה, אלא גם בזכות היצירים האחרים שלה – לשון, אומנות, מדעים שונים (כולל הפיסיקה – שהיא לא רק ‘מתמטיקה’) ומכלול התרבות האנושית.
ה’פלא’ הוא עצם התבונה האנושית.
מאידך, ‘אלוהים’ אינו מתמטיקאי. הוא לא צריך ‘מתמטיקה’ שתהיה לו לעזר, ועד כמה שהוא יזקק לה – הרי הוא אינו יישות אבסולוטית, וערכו האלוהי פחות ונחות, עד כדי כך שאנו לא ניזקק לו – מי צריך אלוהים כשיש לנו מתמטיקה שהיא עולה על האלוהות (וזוהי לדעתי כוונתו העמוקה של פרופ’ ליביו – אין צורך באלוהים כי יש לנו מתמטיקה). מאידך, אם אלוהים הוא יוצר הכל, ומקיים את הכל, הרי שהוא יוצר התבונה ומקיימה – והיא היוצרת את המתמטיקה (כל תאוריה בזמנה), וכן דברים נהדרים נוספים – והיא היא הפלא האמיתי. בהקשר הזה, ורק בהקשר הזה, התבונה יש בה מן היצירה האלוהית, ובמידה זו – המתמטיקה, כל מתמטיקה – גם כן.
אלוהים גם אינו המתמטיקה עצמה. בהגדרה, הוא צריך להיות מעל ומעבר לה ולכל יש מציאותי או מושג רעיוני אחר. אלוהים שהוא המתמטיקה – אין לו כל ערך עצמי מוסף, ולכן אין לנו צורך בו. זו עוד צורה של עבודה זרה – שפינוזיסטית, שדברי מריו ליביו או טגמרק הם (או עשויים להיות) הד לה.
נקודה:
ואני עומד על טענה זו.
אני יודע שלך יש הגדרה פרטית וחסרת כל ערך למילה "קיום" אבל אינני שותף לך בהגדרה זו.
מיכאל תגובה 11 התיחסה למה שכתבת:
"המתמטיקה הייתה קיימת בין אם היינו מגלים אותה ובין אם לא"
בנימין:
קראתי את הראש שלך מלכתחילה אבל כל עוד התחזית לאדם הגון ורציני התייחסתי אליך ככזה.
עכשיו רק אומר שמה שאתה מכנה "אמונות" שלי כבר יצר הרבה פתרונות להרבה בעיות ולא במקרה. לא מדובר בקוף שבמקרה הקיש על המקלדת ויצא לו משהו שהוא החליט לכנות תוכנית אבולוציונית אלא באדם שהבין את העיקרון שאתה מסרב להבין ויישם אותו לתועלת האנושות.
עכשיו – אמור לי בבקשה: מה בדיוק הצליחו לבנות באמצעות האמונות שלך?
מיכאל רוטשילד:
ניחושים שנראים כמו ודומים ל.. לא חסרים אתה יכול להאמין או לא באותה מידה אתה יכול להאמין בחייזרים. אם משהו נראה כמו משהו אחר זה לא מוכיח כלום על היותו אותו משהו אחר נדרש.
אבל בהחלט מספק את מי שרוצה להאמין בזה.
היתה פה כמדומני כתבה שדיברה על המאמינים בדת שמשנים את אמונותיהם על פי מצב הרוח המתאים להם.
בנימין:
זה לא סתם אלגוריתם והוא נקרא אבולוציוני בצדק רב כי הוא פועל בדיוק על אותו עיקרון כמו האבולוציה.
את מה שאתה רוצה עוד אין אנו יודעים לעשות כי אפילו אין בידינו מודל מתמטי מספיק שלם של הכימיה.
מתעניין:
תוכל לקרוא משהו על מריו ליביו כאן:
http://en.wikipedia.org/wiki/Mario_Livio
אני קראתי שניים מספריו – האחד על יחס הזהב (כבר אינני זוכר את שם הספר אבל כנראה שהוא נקרא פשוט “יחס הזהב”) והשני – “שפת הסימטריה”.
בשניהם (בעיקר בראשון) התרשמתי שהוא אדם רציונאלי שמתרחק ממיסטיקה (הוא די לעג לכל האמונות הפופוליסטיות בקשר לקשר בין יחס הזהב לאיזה מדד אובייקטיבי של יופי) כך שנטייתי בשלב זה היא לחשוב שהמילה “אלוהים” משמשת אותו כמטפורה (כשם שאיינשטיין שלא האמין באלוהים אמר “אלוהים לא משחק בקוביות”) – אבל אינני יכול לומר בוודאות כי בינתיים רק קניתי את הספר וטרם הספקתי לקרוא אותו.
תוך כדי כתיבת התגובה “קפצתי” לאמזון ומצאתי שם תיאור של הספר שאומר בדיוק מה ששיערתי:
אחרי שהעתקתי את הטקסט גיליתי שהוא מוגן על ידי זכויות יוצרים אז אני מחליף אותו בקישור אל תיאור הספר באמזון:
מיכאל רוטשילד:
זה סתם אלגוריתם שהצמידו שם אבולוציוני.
כוונתי היתה לגזור חוקיות מתמטית כזאת שניתן יהיה להפעיל מיני אבולוציה בזעיר אנפין.
להכניס כאינפוט יסודות כימיים להפעיל את האלגוריתם ולקבל תאים חיים חיידקים וכדומה.
ולאחר מכן לשנות במיקצת את האלגוריתם ולבנות באמצאות התהליך מיני מכונות מחשבים וכו’.
אבל סתם לנחש ולקבל משהו משהו שנראה דומה זה לא הולך כל כך רחוק כי יש המון אלגוריתמים אחרים שבוודאי עובדים הרבה יותר טוב.
אבי בליזובסקי, מיכאל רוטשילד, יעל פטר:
אתם יכולים לתת קצת רקע על פרופ’ ליביו?
למה הוא קרא כך לספר? מה הוא רצה להוכיח?
הוא האמין באבולוציה או באלוהים לפי שם הספר?
ואם המתמטיקה קיימת מלכתחילה אז מה זה אומר?
???
מיכאל נו באמת.
אולי תאמר שגם התוכנות של מייקרוסופט קיימות.
אין קיום למושגים ערטילאיים, הם בסה"כ "אפקט" כלשהו, מורכב ביותר של תהליכים פשוטים בהרבה.
לפלאס טעה, המושג אלוהים כן מאפשר לנבא דברים.
למשל, שתופעות כמו השואה לא יקרו.
בנימין:
אינני מבין מה נסית לומר אבל האבולוציה – לא רק שהיא פועלת על פי עיקרון מתמטי אלא שהיא ביטוי של משפט מתמטי.
בגלל זה היא נכונה לא רק בתחום הביולוגיה וזה הבסיס לעובדה שמשתמשים בה בכל מיני תחומים.
לכן – מה שאתה מציע שיעשו הוא דבר שכבר עושים מזמן.
הנה דוגמה:
https://www.hayadan.org.il/evolution-of-an-efficient-search-algorithm-bgu-2907079/
מיכאל רוטשילד:
אם כך ניתן להניח האבולוציה פועלת עפ"י חוקים מתמטיים.
כעת נותר רק לברר כיצד ניתן לגזור מהמתמטיקה על פיה פעולת האבולוציה. איזה שהם תבניות מתמטיות מועילות שניתן לשחזר אותן במערכת מלאכותית.
המתמטיקה היא דבר נהדר אך ורק משום העובדה שזו התחושה שהיא מעוררת בנו.
אין לכך שום קשר עם העובדה שהיא יצירתו התבונית של האדם.
אני יכול להצביע על כמה וכמה דברים נהדרים שאינם פרי יצירתו התבונית של האדם – דברים שרובם המכריע של בני האדם מעדיף לעסוק בהם ולא במתמטיקה.
המתמטיקה נראית לנו כדבר נהדר כיוון שהיא שדה נרחב לפעילות שאנו אוהבים לעשות – הפעילות של זיהוי תבניות. ראו בעניין זה את מאמרי על היופי.
אנשים רבים מעלים לא פעם את הטענה שקשה להבין כיצד זה פועלת המתמטיקה טוב כל כך בתיאור הטבע.
האמת היא שאינני שותף לפליאה זו.
תחושתי היא שאין בכלל אפשרות אחרת.
לדעתי אין בכלל אפשרות לקיומה של תבונה בעולם נטול חוקים ואם יש חוקים – אין כל אפשרות שהמתמטיקה לא תוכל לתאר אותם.
תפיסתי בעניין המתמטיקה היא אפלטונית.
המתמטיקה הייתה קיימת בין אם היינו מגלים אותה ובין אם לא.
זה למעשה הבסיס לעובדה שבני אדם שונים מתרבויות שונות ומקומות שונים מגיעים כולם לאותן מסקנות מתמטיות.
אם יש משהו נפלא בכל הסיפור הזה הוא טמון בעובדה שמוחנו התפתח מספיק כדי לעסוק במתמטיקה אבל ההסבר האבולוציוני ל”פלא” זה מספק ביותר.
בשאלת האלוהים – הצעד הקיצוני ביותר שנלקח בנושא זה הוא הצעד שעשה טגמרק שטוען שלמעשה אלוהים אינו מתמטיקאי אלא שהוא המתמטיקה עצמה.
עמנואל, איך מתקדם תרגום הספר "הסינגולריות קרובה" של ריי קורצוויל? אנחנו מחכים כבר 5 שנים לתרגום הספר הזה לעברית, יש כבר אור בקצה המנהרה? רואים את הסוף?
http://www.tapuz.co.il/blog/ViewEntry.asp?EntryId=1065939
המחבר מנסה לפצח את חידת יעילותה הבילתי מתקבלת על הדעת של המתמטיקה בהסברה ובשימוש המציאות הפיסיקאלית על רובדיה העמוקים ביותר.
רבים מהפיסיקאים הגדולים יוגין וויגנר בראשם שעמדו על העניין הזה.
כיצד קורה שישנה התאמה כה גדולה בין תחומים תאורטיים לחלוטין במתמטיקה לבין הסברת תחומים כה רבים וחשובים בפיסיקה. כאשר לכאורה אין קשר ברור בין הדברים. תורת היחסות הכללית היא היא דוגמה לכך. כרומודינמיקה קוונטית היא דוגמה לכך ועוד תחומים רבים לאין ספור.
חידת ההתאמה הזאת נראה כה מופלאה ובלתי אינטואיטיבית בעליל שעל כן מחבר הספר שייך את התשובה הזאת לכוח עליון בשם הספר.
לא קיים למעשה שום הסבר של ממש לסיבת הדבר.
המתמטיקה הייתה ועודנה תחום מוגדר בתוך גבולותיה הידועים.
אין שום מדריך או מפה שתנבא כיצד יש ללכת כדי לפרוץ ץחומים חדשים או לפתור בעיות וותיקות קשות. מהבחינה הזאת המתמטיקה היא עולם של אקראיות כי אין שום דרך לנבא מתי ובאיזה אופן יפתרו בעיות מסויימות. זאת על אף כל הידע שהצטבר עד כה. גם לבעיות הפשוטות ביותר לא ניתן לשלול את הגורם הזה. בהחלט יכול לבוא מישהו ולפתור בעיה שנפתרה זה כבר בדרך מסויימת ולפתור אותה בדרך אחרת לגמרי. כך שתאיר באור חדש לגמרי אותו עניין.
אדי:
מקווה שזה עונה לך על השאלה. כי בעצם לא משנה עד כמה שהמתמטיקה היא מעשה ידי אדם כפי שאתה טוען. עדיין אין תשובות לא להתאמות המופלאות עם הפיסיקה ולא קיימת מפה או מדריך לפיתרונות הבאים העתידיים.
אדי: אדם שרוב יומו קורא באנגלית, יעדיף לכתוב באנגלית. זהו דרכו של עולם.
לכל מי שמתעניין בהרצאה הזו: היא מועברת ע”י פרופ’ מריו ביום ה’ הזה וגם בשידור חי באינטרנט. לפרטים: http://astroclub.tau.ac.il
המתמטיקה היא דבר נהדר, אבל זאת דוקא משום שהיא פרי רוחו התבונית של האדם.
מריו ליביו מציג בספרו מיסטיפקציה של המתמטיקה, ומצד שני -‘הגשמה’ שלה. הגישה הכפולה הזו, מלבד העובדה שהיא מכילה סתירה פנימית, היא חוטאת ברומנטיזציה ותמימות פילוסופית – האופיניות למדענים (לרבות גדולים ביותר) לעיתים קרובות. האמת היא שהמתמטיקה אינה חופפת את המציאות, היא רק הפשטה שלה, והמציאות בכוליותה תהיה תמיד חמקמקה ורחבה ממידתה של המתמטיקה – היא תמיד תכיל יסוד בלתי ניתן לתפיסה, בלתי ניתן לניבוי ובלתי ניתן לוידוא. מצד שני, ודאי שהמתמטיקה אינה יש מציאותי, כאילו היתה ‘אידיאה’ כלשהי או קבוצה של אידיאות , אלא יש רעיוני או קבוצה של של ישים רעיוניים בלבד.
כך, אלוהים אינו מתמטיקה ואינו מתמטיקאי – למעשה שום דבר אינו מתמטיקה מלבד המתמטיקה, ורק מתמטיקאים הם מתמטיקאים, והמתמטיקאים הם (‘רק’) בני אדם.
אגב, ענין אותי לדעת – מדוע מריו ליביו כותב את כל ספריו באנגלית – למרות שהוא שולט בעברית ברמה של שפת אם (ורבים מהביטויים בספריו הם תרגומים של ביטויים בעברית), התחנך בישראל ולימד בישראל?
פרופסור מריו ליביו היה מרצה נהדר בפקולטה לפיזיקה בטכניון.