תיאוריה מתמטית של גבולות הידע הולכת ולובשת צורה
מאת גרהם פ' קולינס
עמוק בתוך מבול הידע ששפך עלינו המדע במאה ה-20, נמצאו גבולות בלתי מתפשרים לדברים שאנו מסוגלים לדעת. ורנר הייזנברג גילה ששיפור הדיוק במדידת מיקומו של עצם, למשל, גורר בהכרח ירידה ברמת הוודאות של התנע שלו. קורט גֶדֶל הראה שבמסגרת כל מערכת מתמטית פורמלית, המתקדמת דיה כדי להיות שימושית, אי אפשר להשתמש במערכת הזאת כדי להוכיח את כל הקביעות אמיתיות הנכללות בה. ואלן טיורינג הוכיח שאי אפשר באופן כללי לקבוע אם אלגוריתם מחשב מסוים עומד לעצור.
דייוויד ה' וולפרט, איש מדעי המחשב בעל הכשרה בפיזיקה שעובד במרכז המחקר על שם איימס של נאס”א, השתלב בדיון עם גרסה משלו לגבול של ידע. ההשלכה של הגבול הזה, לפי מסקנתו, היא שהיקום שוכן מעבר לתפיסה של כל אינטלקט, רב עוצמה ככל שיהיה, שמתקיים במסגרת אותו יקום. בפרט, במהלך השנתיים האחרונות הוא שכלל הוכחה לכך שלא משנה מהם חוקי הפיזיקה המושלים ביקום כלשהו, קיימות בהכרח עובדות על היקום ששוכניו אינם יכולים ללמוד מתוך ניסוי או לחזות בעזרת חישוב. פיליפ מ' בינדר, פיזיקאי מאוניברסיטת הוואי שבעיר הילו, מעלה את האפשרות שהתיאוריה מורה על כך שחוקרים שמחפשים חוקים מאוחדים יכולים לקוות לכל היותר להגיע ל”תיאוריה של כמעט הכול.”
עבודתו של וולפרט היא מאמץ ליצור תיאור עקיב ומדויק של תהליכים כגון מדידת כמות, תצפית בתופעה, תחזית של המצב העתידי של מערכת או זיכרון של מידע מן העבר – תיאור שיהיה כללי דיו כך שלא יהיה תלוי בחוקי הפיזיקה. הוא ראה שלכל התהליכים האלה יש מבנה בסיסי משותף: יש צורך להתקין דבר כלשהו (למשל, מתקן ניסויי או מחשב שיריץ הדמיה); יש להגדיר בבירור שאלה לגבי היקום; ויש לספק תשובה (נכונה או שגויה). הוא בונה מודל בעבור המבנה הכללי הזה על ידי הגדרת אוסף של ישויות מתמטיות שהוא מכנה התקני היסק.
התקני ההיסק פועלים על קבוצה של יקומים אפשריים. לדוגמה, היקום שלנו, כלומר כל קו העולם של היקום (מסלולו במרחב הארבע-ממדי – העורכים) על פני כל הזמן והמרחב, יכול להיות שייך לקבוצת כל היקומים האפשריים שמתירים החוקים המושלים ביקומנו שלנו. לא צריך להגדיר שום דבר בקשר לחוקים האלו בניתוח של וולפרט. הדבר היחיד שמשנה הוא שהתקני ההיסק השונים האפשריים מספקים תשובות לשאלות בכל יקום ויקום. ביקום דומה לשלנו, התקן היסק יכול לכלול מאזניים דיגיטליים שתעמדו עליהם מחר בצהריים והשאלה תהיה קשורה למסה שלכם באותו רגע. גם אנשים יכולים להיות התקני היסק, או חלק מהתקן כזה.
וולפרט מוכיח שבכל מערכת יקומים כזו קיימים גדלים שאף התקן היסק המצוי בתוך המערכת לא יוכל להשיג. ה”שדון” ההיפותטי שהמציא פייר-סימון לפלס בתחילת המאה ה-19 (תנו לשדון את המיקום ואת המהירות של כל חלקיק וחלקיק ביקום, והוא יחשב את מצב העתיד של היקום) ייכשל אפוא אם הוא חייב להיות חלק מן היקום.
חוקרים הוכיחו כבר בעבר שאי אפשר לחשב מערכות פיזיקליות מסוימות. וולפרט טוען שהתוצאה שלו היא הרבה יותר כללית, מכיוון שאין היא מניחה שום הנחות בנוגע לחוקי הפיזיקה ומכיוון שהיא אינה מציבה שום מגבלות על כוח החישוב של התקן ההיסק מלבד זה שההתקן חייב להיות קיים בתוך מסגרת היקום הנדון. כמו כן, התוצאה אינה חלה רק על תחזיות של המצב העתידי של מערכת פיזיקלית, אלא גם על תצפיות של מצב נוכחי ועל בחינת תיעוד של מצב בעבר.
הוכחת המשפט, בדומה לתוצאות של משפט אי השלמות של גדל ושל משפט בעיית העצירה של טיורינג, מסתמך על גרסה של פרדוקס השקרן: בקשו מן השדון של לפלס לחזות את עובדת הכן/לא הבאה בנוגע למצב עתידי של היקום: “האם היקום לא יהיה יקום שבו התשובה לשאלה הזאת היא 'כן'?” השדון, המבקש למצוא תשובת אמת שתהיה כן או לא, יתקל בבעיה דומה למי שמנסה לקבוע את האמת של הפסוק “האמירה הזו היא שקר”. גם אם ידע השדון את המצב הנוכחי המדויק של היקום כולו ואת כל החוקים המושלים ביקום, וגם אם תהיה בידיו עוצמת חישוב בלתי מוגבלת – שום דבר לא יעזור לו לתת תשובה אמיתית לשאלה הזאת.
עם זאת, במובן מסוים קיומו של פרדוקס כזה אינו מזעזע ממש את אמות הסיפים. כפי שניסח זאת סקוט אהרונסון, איש מדעי המחשב מן המכון הטכנולוגי של מסצ'וסטס (MIT): “העובדה שהתחזיות שלנו על היקום מוגבלות מעצם טבען על ידי זה שאנחנו חלק מן היקום שאנחנו חוזים, נראתה לי תמיד די מובנת מאליה – ואני בספק אם לפלס עצמו היה אומר אחרת אילו יכולנו לשאול אותו.” עם זאת, אהרונסון מוכן להודות ש”לפעמים זה תרגיל שימושי, לנסח במפורש את כל ההנחות שמאחורי רעיון, לצקת הכול מחדש במערכת סמלים פורמלית ולחשוב בפרוטרוט על כל ההשלכות,” כפי שעשה וולפרט. ככלות הכול, השטן, או השדון, נמצא בפרטים.
43 תגובות
יהודי פשטן:
איפה ההתחלה ואיפה הסוף של כדור?
לקב"ה אין התחלה, סוף או אמצע פשוט מפני שאינו קיים ולמען האמת זה די משמח לדעת שאינו קיים כי לחשוב שקיים יצור כל יכול שהוא כל כך מרושע זה מאד מדכא.
כדאי לזכור שכל מה שהוא פיזי – יש לו התחלה וגם סוף
הקב"ה לא פיזי ואין לו התחלה או סוף
נקודה:
אתה מתעקש להחליף את משמעותן של כל המילים (הלא קיימות, לטענתך) ולי אין כוונה להשתתף במשחק הזה.
חוץ מזה, אין כל טעם בוויכוח עם מישהו שאינו קיים על טענות – משמעותיות ככל שיהיו – שמבלי להתקיים לא יכול היה לטעון
אתה מ יח במובלע שרק לדברים קיימים יש משמעות כשההיפך הוא הנכון
נקודה:
מבחינתך הרי גם אני אינני קיים ולכן גם הנחתי אינה קיימת כך שלא ברור לי למה אתה מתווכח
אינני מבין מדוע אתה מניח שמשהו קיים, הרי לא קימת שום סיבה למשהו להיות קימת
שניהם מאותו סוג של אי קיימות אותו נהוג לכנות בעברית בשם קיימות
ולגבי המאמר. כעת נותר לבדוק אם התודעה שאינה קימת היא מאותו סוג של אי קימות כמו של היקום.
מישהו אחר לגמרי:
אני בטוח שאתה עצמך אינך מסכים עם מה שכתבת.
אתה משתמש בתרופות?
אתה נוסע במכונית?
אתה טס במטוס?
אתה משתמש בטלפון ובטלפון אלחוטי?
אתה משתמש ברדיו ובטלוויזיה?
גם אם תשקר לי בתשובתך לכל אלה – הוכחת שאתה משתמש במחשב ובאינטרנט.
אכן, אין גבול לקשקשנות של אנשים מסוימים.
תמיד חשבו המסוממים וההוזים שהמדע מתקרב לתפיסותיהם
למיכאל ר. אם "המדע לעולם אינו מייצר ידיעה וודאית" לא צריך מדע; המדע יכול
לייצר ולחזות את רוב תופעות שאנו מכירים: קשת בליסטית, טיסה, מראת גילוח
ותנועת כלי רכב – בכל אלה הוא מייצר ידיעה וודאית…חוץ מפסיק קטן…האם באמת
קרני האור חוזרות אלינו מהמראה במהירות הגבוהה ביותר האפשרית, כיצד
בדיוק מושך כח המשיכה (ולא רק חישובים של עוצמת אותו כח).
למעשה, אנו מתייחסים לאור ולגרוויטציה כמעט כמו שהאדם הקדמון התיייחס
לסכנה שבנפילה מעץ. לעומת האדם הקדמון, יכול הפיזיקאי היום לנבא בדיוק
רב (ומכל בחינה מעשית – בוודאות), כמה זמן יעבור עד שאדם שנפל מסקוויה
בגובה נתון יגיע לקרקע ובאיזו מהירות יפול, אך הוא לא יוכל להסביר איך פועל הכח
שבגללו נפל האדם – ולומר בוודאות מוחלטת האם יש (או ניתן תיאורטית לייצר) כח נגדי
שהיה יכול לעצור את נפילתו.
יש משהו מאד מסוכן בהשוואה בין ידיעת "כמעט הכל" לידיעת "כמעט לא כלום".
מכיוון שברור שהמדע לעולם לא יוכל לדעת הכל (ולו מן הסיבה הפשוטה שהמדע לעולם אינו מייצר ידיעה וודאית) הרי שטענה זו שוללת למעשה את העיסוק במדע.
הטענה נובעת מריבוי המשמעויות שמייחסים למילה "ידיעה" ומאי אבחנה בין הדברים השונים שהידיעה מתייחסת אליהם.
גם אם איננו יודעים כיצד מתבטאים חוקי הגרביטציה בסינגולריות של חור שחור וגם אם עובדה זו מעידה על כך שכל הבנתנו את הגרביטציה עשויה להיות שגויה, הרי שאנחנו כן יודעים לנבא (ובדיוק רב) כיצד ינהגו גופים בהשפעת הגרביטציה כמעט בכל מצב אפשרי.
האם יש באמת מישהו שבאמת חושב שאפשר להשוות את יכולתנו להתמודד עם המציאות כיום עם יכולתנו לעשות זאת לפני אלפי (או אפילו מאות!) שנים?
יש ממש בגישתו של אדי לטענת "הכמעט הכל=כמעט לא כלום"; ברגע שאינך יודע הכל,
הרי שאינך יודע עד כמה אינך יודע – ולכן לא תוכל לעולם להיות בטוח בניסוחיך לגבי מה שלא
הצלחת להשיג. דוגמה: מאחר ותורת היחסות אינה מנסחת באורח מוחלט את כל חוקי
הפיזיקה, היא אינה יכולה לשלול בוודאות מוחלטת את התנועה במהירות הגבוהה ממהירות
האור או דחייה גרוויטציונית, מה שנמצא – וכמה נמצא – אם נצליח להגיע למהירות
הגבוהה ממהירות האור, אינו ידוע לנו, ויתכן שיהיה שם שדה נרחב בהרבה של חוקי פיזיקה
הממתינים לניסוח מאלה הידועים לנו כיום.
1.בהקשר לתגובות הפילוספויות , יהיה נכון להזכיר את הפרדוקס של זנון מאקסיומה גיאומטרית : בין כל שתי נקודות יש נקודה . ולכן כל גוף שנע בקטע כלשהו , עובר אין סוף נקודות , והמסקנה : רק נדמה לנו שאנו נעים ומגיעים למחוז חפצנו .
2 . והפעם קצת יותר ברצינות ובפרט למען ההגינות הבסיסית ,להלן ציטוט מויקיפדיה על סוקרטס :
בשנת 399 לפנה"ס נשפט סוקרטס בן ה-70 על כפירה באלים והשחתת מידותיו של הנוער ונמצא אשם. סוקרטס ניהל בעצמו את הגנתו, ובדיון על גזר דינו, כשהתבקש להציע את העונש הראוי לו, הציע שתנתן לו הזכות לאכול ארוחת חינם בבית המועצה לכל ימי חייו (כבוד שהוענק לאזרחים שהעיר הכירה להם טובה). תשובתו זו הרגיזה את בית הדין עד כדי כך שדינו נגזר למוות ברוב גדול של כ-300 קולות נגד 200 קולות. יותר מאשר הרוב שבו נמצא אשם מלכתחילה (280 כנגד 220) והוא נידון להוצאה להורג בשתיית רעל מסוג רוש. בעת שבתו בבית הכלא ניסו תלמידיו לשכנעו לברוח, אך סוקרטס טען כי אדם החי במדינה מקבל עליו את חוקיה רטרואקטיבית ולכן לא יברח. (דבריו של סוקרטס אל המושבעים – "אם אתם חושבים כי בהורגכם אותי תצליחו למנוע מישהו מלגנות את חייכם המושחתים, אינכם אלא טועים; אין זו דרך מילוט אפשרית או מכובדת").
הוגין:
אמרתי את מה שרציתי לומר וחבל שלא הבנת.
הוא ישב בבית הסוהר בצדק לאחר שמעשי ההונאה, המעילה והזיוף שלו נתגלו.
http://he.wikipedia.org/wiki/אריך_פון_דניקן
גדולי ההסטוריה הטובים שבינינו,ישבו בבית סוהר,גם סוקרטס שתה מכוס התרעלה בשל דבריו,אז מה רצית להגיד מיכאל?
הוגין:
ה"נפיל" אריך פון דניקן ידוע יותר בזכות ישיבתו בבית הסוהר מאשר בזכות ישיבתו בשרותים.
אופס,,תיקון טעות:28/5/1982..
ו
ואלה ,יש קשר הדוק:)
ב-28/6/1982 נסובתי עם אדון חכם ומשכיל בירושלים…נפיל אמיתי..(ממש כמו במרכבות אריך פון דניקן)ש’חשב’ שזה מאוד מיותר ,שאדם צריך ללכת לשרותים:)גיסתו הפסיכולוגית אמרה עליו (לדבריו),שהוא סוג של ‘רובוט’ ,,הלניסטי.
עברתי הארה אדירה !!!בעקבות אותו חג ‘שבועות’ שחוללתי איתו..כך נפלתי אף אני מרום פסגתי ומשכני השמיימי ומניהול מכובד,שהייתי ממונה אז עליו.
החייםםם..מרתקים .
תמשיך ל’הרגיז’ ולגרות את כל חושי האתר.
לשרותך,עד לטיסתי הבאה..
הוגינצ’קה.
הוגין,
האם יש ערך מוסף לציון העובדה שהיית בשרותים, + תיאור הפעולות שלך שם (טוב, אולי לא כל הפעולות…), למסר שניסית להעביר אלי ולמיכאל?
האם יש לכך איזו שהיא משמעות הוליסטית?
האם זהו המקום בו את נוהגת לתקשר עם נפילי משולש ברמודה?
ואנא, הפעם אל תשלחי אותי ללמוד לבד, זו משימה שאין בכוחי לעמוד בה
אנא עזרי לי להבין
ועוד משפט בעל ערך ספיישל בשבילך נעם:
אמש בהיותי בשרותים,פתחתי את אחד הספרים המצויים שם של רובין שארמה:”חוכמת המצויינות”וזה המשפט שנפתח באקראי מול עיני בערך 49 (שכותרתו:אהבו את מה שמרגיז אתכם) עמ’127 :”לאנשים או לנסיבות המוציאים אתכם מכלל שליטה יש ערך בלתי רגיל:הם חושפים את האמונות המגבילות אתכם,את הפחדים שלכם ואת ההנחות השקריות שלכם”.
חשבתי עליך נעם,ועל מיכאל,,חייכתי,,ניגבתי ,רחצתי,וכשחזרתי למחשב באיזה שהוא שלב,,חייכתי לאתגרים המתגלגלים שאתם משחילים כאן בערסיות לבנה שקופה ו’שיטתית’.
הרי ברור לך ‘נעם’ ,שרובין שארמה כתב את ספריו החכמים הרבה זמן אחרי שהשגתי את מטרתי לפי המשפטים המנחים את חיי מצעירותי /ראה,אוסקר ווילד:”מה שאינו מחסל מחשל” ו..”שמור עלי מידידי כי לאוייבי אוכל”..
אני בכל אופן מאחלת לך להשכיל גם ב’שרותים’ ,שאצלך בבית אם יש לך קושי כבד לקבל מושכלים דרך המסך הפרטי הממוחשב ,שמולך.
בברכת שרותים,הוגינצ’קה.
לנעם:כאשר תפתח את אתרך המיוחד הנקרא:"אני קשקשן",אשמח לחנוך את נעימותיך..ואם תרצה גם את נהמותיך האנגלוסקסים..
הוגין,
ברור לחלוטין!
כל מילה בסלע!
(אלא שתגובה זו בטעות הגיעה לאתר הידען. מקומה באתר"אני קשקשן")
תוספת רווח ד’אוריתא:)
בין הכ-ל מכל זוית ומכל היטל באשר הוא /הם ובכל מקום עד תתי חלקיק ו ‘אין’ (בהיפוך:’אני’)שזורים חוטי זיקה(השראה)בלתי נראית או גלויה האוחזים את כל היקום..(אם תרצה גם ברבים:יקומים-קיומים).
אז גם אם מטען שלילי וחיובי מבטלים זה את זה מהבחינה המתמטית, ב’אפס’ שביניהם מקויים כל הפוטנציאל החי והנושם..
למעשה ה’צופה’ הוא החיצון- הפנימי הנצחי של רוחך הנמצא/ת בכל מקום.:)
אמנם שאלה של קיום ואי קיום היא שאלה פילוסופית שאותי אישית מאוד מעניינת:
(ואני לא מתייחס למשמעות הקיום,מהותה או הגדרת) הקיום עצמו הוא תלוי, לפי איך שאני (בתור איש מדע, בהנדסת מחשבים) תופס את זה, בגודל המרחב בו (*)מתבוננים. אם נסתכל על הדוגמה הפשוטה של חלקיקי מטען חיובי ומטען שלילי, דיפול, נכון שאם נתקרב לכל מטען בנפרד נאמר שהוא קיים שכן הוא יוצר שדה במרחב, לעומת זאת אם נתרחק מאוד משני החלקיקים השדות יבטלו זה את זה ובעצם לא נבחין באף חלקיק. בעצם הגדרת הקיום נהפכה לתלויה בעיני המתבונן מרמת המיקרו ועד לרמת המאקרו וסופר מאקרו שהאבסורד מכל הסיפור הזה שאין קשר פיזיקלי-מתמטי שיכול לקשר בין שני העולמות האלו (תורת הקוונטים ותורת הייחסות).
(*)וכל זה בהנחה שמושג המדידה והמודד מוגדרים היטב .. (ראה החתול של שרדינגר או אפקט הצופה).
והנה משהו לשפויים:
http://scienceblogs.com/goodmath/2007/03/what_happens_if_you_dont_under_1.php
למיקי(15 )אם כפי ,שהתבטאת.. “במילים אחרות אנחנו לא קיימים”,נותרת האפשרות כאופציה באמרי חיים להקים ולמקם זה את זה..ועל זה ‘יקום’ שוב ושוב דבר:-אמת חיים ועולם,ב’מילים’ הנכונות.
בליפ למתקדמים: מאמר שהובא ב NRG ועוסק “בנזילות” נקודת המבט, ממשות המדע, תודעה.
מביא קישור למאמר
דורון ב.
http://www.nrg.co.il/online/55/ART1/907/345.html?hp=55&loc=52&tmp=4713
בליפ למתקדמים: האם המדע מתקרב לתיאוריות ניו-אייג’יות?
אחד מחוקרי התא הנודעים בעולם עומד מאחורי רעיון המזוהה יותר עם רעיונות ניו אייג’יים אך זר לחלוטין לזירה המדעית, לפיו ממלאת התודעה תפקיד מרכזי ביצירת היקום – וטוען כי המדע בוחר נקודת מוצא שגויה לחלוטין להבנת העולם. האם בשלה השעה למיזוג מהותי בין הרוח למדע?
כל הנוסחאות וכל התיאוריות שפיתחנו עד היום יכולים לתאר/לחזות דברים במציאות עד כדי דיוק מסויים אבל לא במדוייק! ולמעשה כל החוקים שכביכול יצרנו והוכחנו מתבססים על אקסיומות והנחות יסוד שאנו קבענו. בכלל כל הקבועים שגילינו הם למעשה מספרים אי-רציונאליים וגם אותם אנו לא יכולים לתאר במדוייק בעזרת המתמטיקה – רק עד כדי דיוק מסויים.
ובאופן כללי איך ניתן לתאר מערכת שאנחנו בעצם חלק ממנה?
ואם נסתכל באופן פילוסופי על הייקום ככלל נבין שאנחנו בעצם בסה"כ מטען, חומר, אנרגיה ועוד דברים שלא גילינו, שמקזזים אחד את השני או במילים אחרות אנחנו לא קיימים.
מקיבועי היסוד של הגניוס האנושי המדעי , היה מאז ומתמיד לנסות להפוך את הכמעט הכל – להכל ודוגמאות לא חסרות ; ובהתייחסות לאחת מהן , שמגולמת בפיסיקה הקלאסית של ניוטון , שבהמשך המחקר המדעי , נתגלו מגבלותיה באשר ליכולת מתן תשובות נאותות יותר , לתופעות פיסיקליות , שכלל לא העסיקו את הפיסיקאים , בפרט בתקופתו של ניוטון ובהמשך גם רבים אחריו , עד שהופיע איינשטיין , והפך את מה שהיה הכל , לכמעט הכל .
גם בתורת היחסות הכללית של איינשטיין , יש מקום לתהות ולחקור את הטענה שבהקשר לעיקום המרחב על ידי המסה כאשר אנו רואים מכיוון אחד , ועל פי תיאור תשריטי , את האופן שבו מסה מעקמת מרחב , ובאופן זה מסבירים בין היתר את כוח הגרביטציה , ועושים מזה ראיה כוללת ולא בטוח שלוקחים בחשבון , שאותה מסה , יוצרת עיקום ( תפיחה ) מהכיוון הנגדי , ועל פי ההיגיון : במקום גרביטציה מקבלים כוח דחייה ; האומנם ?
אדי:
תיקון:
למעשה אפילו לא טענתי שהיא פותרת את בעיית השלמות אלא רק שהיא מתמודדת בהצלחה עם דוגמאות אי השלמות שמייצרת שיטתו של גדל.
אדי:
לא טענתי שהוספת סדרה אינסופית כזאת של אקסיומות פותרת את בעיית הוכחת הקונסיסטנטיות.
טענתי שהיא פותרת את בעיית השלמות במערכת אקסיומות קונסיסטנטית.
אכן, הוכחת העקביות של עצמה תישאר ככל הנראה מחוץ להישג ידה של המתמטיקה.
מיכאל,
ודאי שמת לב שעמדתי היסודית כפי שנוסחה בתגובות 2,6,7 אינה נשענת רק (וגם לא בעיקר) על משפטי אי השלמות של גדל. הרי מלכתחילה, וכפי שציינתי התגובה 9 – משפטי גדל (בניגוד למתואר במאמר) מתיחסים לתורות מתמטיות (אריתמטיות) מסוימות, ואינם בעלי תחולה כללית ראשונית (אם כי ודאי שיש תורות מתמטיות אחרות המתבססות, וכן המדע המדויק כולו מתבסס, באופן מכריע, גם על אריתמטיקה). עיקר הטיעון שלי בנושא ה’כמעט לא כלום’ המהותי – נשען על הבנת המכניזם של שינוי תוכני של המושגים בתורות מדעיות (גדולות) מתחלפות, כתופעה מתמדת.
לגבי דבריך בתגובה 10: במושכל ראשון, הייתי מגיב כך: לעניות דעתי,על פני הדברים, נדמה לי שגם אם ההוספה היא של סדרה אינסופית של אקסיומות שכל אחת מהן טוענת שסט האקסיומות שקודמות לה הוא קונסיסטנטי – אינה פותרת את הבעיה. הבעיה של העקביות אינה נפתרת רק משום שכל אחת מהאקסיומות ‘טוענת’ לעקביות קודמתה. העובדה שמדובר בסדרה אינסופית של אקסיומות – אינה נראית בהכרח כמעלה. לא נהיר כיצד מערכת נעשית מוכחת באופן שלם, ואני תוהה אם אין כאן לכאורה ניחוח מתקתק של הגזמה אינטלקטואלית זחוחה מסוימת.
אבל , יחד עם זאת, טענתך מענינת, והייתי רוצה ללמוד אותה.מאחר שאין לי מומחיות בתחום, ולשם הזהירות (והענין!), הייתי מבקש לקרוא מקור להסבר טענתך, לפני שאגבש את דעתי האישית. יהיה זה גם מענין ביותר גם לקרוא חוו”ד של מתמטיקאי מומחה במאמר על גבולות משפטי אי השלמות של גדל (אולי של פרופ’ אברון?) בהידען. אם תוכל לסייע בכך, יהיה זה לברכה רבה.
בכל מקרה, אנסה להשיג את הספר של ארנסט נגל וג’יימס ניומן. תודה על ההפנייה.
יהיה זה גם מענין לקרוא חומר מקורי בענין משפט וולפרט.
למערכת הידען,
המאמר והנושא כולו מעניין וחשוב ביותר. תודה! והיינו רוצים עוד מהאותו דבר הזה.
אדי:
לא היה צורך בכל המבוא שברור לך שהוא מוכר (מה גם שתואר כמעט במלואו בתגובתי.
תשובתך האמיתית מתחילה רק במשפט ” אפשר להוסיף לתורה כאקסיומות את כל הטענות שנכונות על המספרים הטבעיים” ועל תשובה זו אני חולק.
קודם כל – כפי שהסברתי – כדי לעקר את משפט גדל אין לנו צורך להוסיף כאקסיומות את כל הטענות שנכונות לגבי הטבעיים (ברור שאיננו יכולים לעשות זאת כי איננו יודעים מהן אותן טענות אבל הסברתי שאין גם כל צורך לעשות זאת) ומספיק להוסיף סדרה אינסופית של אקסיומות שכל אחת טוענת שסט האקסיומות שקודמות לה הוא קונסיסטנטי.
הוספה זו של אקסיומות היא לגמרי אלגוריתמית וכל טענה “גדליאנית” שנוצרה על בסיס אוסף חלקי של אקסיומות אלו ניתנת להוכחה באוסף גדול יותר וכל זאת באופן אלגוריתמי לחלוטין.
למעשה אין כמעט מתמטיקאים שחושבים כיום שממשפט גדל נובעת מגבלה כלשהי על יכולת ההבנה האנושית.
רק כדי לתת לדברים אלה תוקף יתר אציין שלפני פרסום תגובה זו נועצתי בפרופסור ארנון אברון שזה אחד מתחומי מומחיותו.
אגב – ביחס לטענה אחרת שהעלית – שלטעמי אינה שייכת לעניין – כאילו מערכת שהיא חלשה יותר לא יכולה להוכיח את עקביות עצמה אם מערכת המכילה אותה אינה יכולה לעשות זאת – זו טענה שאינה נכונה.
אתה מוזמן לקרוא בספר Godel’s Proof, פרי עטם של Ernest Nagel ו James R. Newman את הפרק An Example of a Successful Absolute Proof of Consistency המתחיל בעמוד 45.
מיכאל,
כדי להבהיר את הסתייגותי מהניסוח במאמר, אפרט לגבי מה שכונה ‘משפט גדל’.
ישנם שני משpטי אי שלמות של גדל.
משפט אי השלמות הראשון של גדל אומר שעל קבוצה חשובה של תורות מתמטיות (לא על כולן) חלה התכונה שבכל תורה שכזו קיים משפט(לכל תורה זה יכול להיות משפט אחר) שניתן לנסחו בשפה של התורה, אך לא ניתן להוכיחו או להפריכו באמצעותה. ז”א, התורה אינה שלמה במובן זה שהיא לא יכולה לשמש להכרעת כל הטענות שניתן לנסח במסגרתה.
משפט זה חל על כל תורה עקבית (תורה היא עקבית אם אי אפשר להוכיח ממנה דבר ושלילתו), ואפקטיבית (תורה היא אפקטיבית אם קיים אלגוריתם שמכריע לגבי כל טענה בשפה של התורה האם היא אקסיומה של התורה או לא). תורות אחרות, שאינן עקביות ואפקטיביות – אינן מענינות לא את גדל ולא אותנו.
כמה שנגדיל את היקף המערכת, כל עוד היא עקבית ואפקטיבית תמיד יהיה משפט בעייתי שהמערכת לא תוכל להוכיח. כמובן, ויתור על האפקטיביות חותך את העניין מיד – אפשר להוסיף לתורה כאקסיומות את כל הטענות שנכונות על המספרים הטבעיים ולקבל תורה שלמה סינטקטית שהטבעיים הם מודל שלה – אבל במחיר שלא נוכל להבחין בין משפט חוקי במערכת ובין מה שלא כי לא נוכל לאמת הוכחות באופן אלגוריתמי.
משפט אי השלמות השני של גדל אומר שאם תורה היא אריתמטית, עקבית ואפקטיבית – היא לא מסוגלת להוכיח את העקביות שלה עצמה, כיון שאילו היתה מסוגלת להוכיח זאת, אפשר היה לגזור מכך הוכחה לאותו פסוק שלא ניתן להוכיח בתוך התורה, הפסוק שהמשפט הראשון מדבר עליו.
והנה, אם המערכת אינה מסוגלת להוכיח את העקביות של עצמה, הרי גם מערכת חלשה יותר אינה מסוגלת לעשות זאת. נותר אם כן לנסות לחזק אותה ולהוכיח את עקביותה רק ע”י הוספת אקסיומות נוספות.
אבל כאן טמון מוקש: אין מי שיוכל לערוב לכך שהמערכת החדשה, המחוזקת לכאורה, היא עקבית…
קטונתי, אבל אני שייך לאנשים הסבורים שהגאון הענק הזה, גדל, היה אדם בר דעת. לכן השיטה של ‘הוספת אקסיומות’ היא שיטה ריקה (ולא מדובר באקסיומות ‘פרווה’, אלא אקסיומות אלה הן עצם הענין, ו’פה קבור הכלב’ ).
משפטי גדל מסמנים קצה וגבול של היכולת הרציונלית לומר היגד אמת שלמה. אמת אינה משהו פחות מזה, להבדיל מכל דבר אחר (כמו הצלחה מעשית או טכנולוגית, נניח).
למשפטי גדל מסתבר, יש מקבילות בתחומים הקשורים למדע.
לכן, מבחינה זו כל תאוריה מדעית, ברמה העקרונית – עשויה להיות כמעט לא כלום , אם כי ברמה המעשית טכנולוגית היא עשויה להיות לפעמים הרבה, הרבה מאוד, ואלי כמעט הכל. נדמה לי שהנסיון ההסטורי עד כה, מאז תאלס – מוכיח זאת.
אדי:
אני מנסה להשיג את המאמר המקורי של וולפרט ולא הגבתי עד כה כי לא חשבתי יהיה נכון להתווכח על דברים שרק נרמז עליהם (ובאופן לא מדויק – ככל הנראה) במאמר.
עם זאת – מה שאמרת לגבי מסקנות משפט גדל אינו נכון.
מה שמשפט זה אומר זה שבתורה עקבית קיימות טענות שמערכת האקסיומות אינה מאפשרת להוכיח את נכונותן או להפריך אותן.
הוא עושה זאת על ידי תהליך בניה סינטטי הבונה טענה שאינה כריעה מתוך האקסיומות.
למעשה הוא בונה משפט שהוא בהכרח נכון אם מערכת האקסיומות עקבית והסיבה היחידה שבגללה אי אפשר להוכיח אותו באופן פורמאלי היא שמערכת האקסיומות אינה יכולה לדבר על עצמה ואם ננסה להכליל בה את טענת העקביות של עצמה היא תהפוך לבלתי עקבית.
אלא מה?
אנחנו הרי מאמינים שהיא עקבית.
אז נכון – איננו יכולים לכלול בין האקסיומות את אקסיומת העקביות כי תווצר סתירה אבל אנחנו כן יכולים להוסיף אקסיומה הטוענת שכל האקסיומות שהיו לנו עד כה (לא כולל את עצמה) מהוות מערכת עקבית.
הוספה כזו של אקסיומה אינה מהווה עברה מחשבתית. הרי מלכתחילה האמנו שהמערכת עקבית.
וראה זה פלא: הוספת אקסיומה זו מאפשרת להוכיח את הטענה שבנינו במסגרת הוכחת משפט גדל.
אז נכון: גם במערכת החדשה אפשר לבנות טענה באמצעות אותה שיטה אבל גם בה ניתן להתגבר על חוסר היכיחות על ידי הוספת אקסיומה "פרווה" חדשה ששוב טוענת שמערכת האקסיומות עד כה היא קונסיסטנטית.
לא נראה לי שיש אדם בר דעת שיראה בהוספת מספר כלשהו של כאלו אקסיומות "פרווה" מעשה פסול אבל אם מותר לעשות זאת ככל שנדרש מעוקרת הוכחתו של גדל ממשמעותה!
משפט גדל מוכיח לכן דבר נכון אבל לא כזה שמגביל את יכולתנו להבין ולדעת דברים ובטח לא כזה שמגמד את ידיעתנו כדי "לא כלום".
אני רוצה להוסיף דבר מה שנשמט מהתגובה הקודמת.
התהליך שדברתי עליו (השינוי המושגי המהותי במעבר מתורה גדולה אחת לתורהגדולה אחרת) הוא כנראה מהותי למדע. ניתן להבין זאת על בסיס משפט בלוגיקה (משפט גדל. אגב, הניסוח של המשפט במאמר אינו לגמרי מדויק), או על בסיס משפט לוגי פיסיקליסטי כמו זה של וולפרט, או על בסיס פיסיקליסטי פרוצדורלי כמו של דייאם.
מסתבר שהתבונה האנושית אינה מסוגלת לחבוק מבחינה מהותית את המציאות, בכלים מדעיים או אפילו מדעיים לוגיים.לכן, מבחינה עקרונית (לא מבחינה מעשית וטכנולוגית!)התפיסה שלה , שהיא במקרה הטוב ‘כמעט הכל’ – היא הכמעט הכל כזה שהוא כמעט לא כלום.
גדי,
עם ציניות או בלי ציניות (זו שאלה פרשנית)- רציתי לכוון ל’שלב הבא’: נניח שהגענו לתאוריה של ‘כמעט הכל’- מהו בדיוק הכמעט ‘הכל’ הזה – דבר מה כמותי או מהותי?האם אנו יודעים, נניח- 99% של ידע, שיש להם ערך אמת בפשטות באותו מישור מושגי המתאר נכונה המציאות, או שערך האמת הוא במישור מושגי אחר, המקורב למציאות רק קירוב מעין אנאלוגי, נניח?. לכן הבאתי את הדוגמא של הפיסיקה הקלאסית מול המודרנית. ואדגים: המכניקה של ניוטון מתארת בקירוב רב (בארועים בהם המהירויות נמוכות יחסית) את הארועים בחיינו המעשיים, אבל מושגי הזמן, המרחב, החלל, המסה, התנע – שונים מהותית מאלה של תורת היחסות הכללית לגבי חללזמן וכו’. עקרונית, תורת ניטון – יחסית לתורת היחסות אינה נכונה כלל (אין למושגיה ערך אמת ביחס למציאות), אלא שהמערכת המושגית והמתמטית שלה מפיקה תוצאות ‘מוצלחות’ במונחים של קירוב מעשי לצרכים רגילים. במובן זה (ובמובן זה בלבד)תורת ניוטון היא ‘כמעט לא כלום’.
שרון,
בהמשך למה שכתבתי לעיל:התאור הוא מרשים, מרשים ביותר. אלא שרבות נטען ששתי התאוריות כמות שהן מקימות סתירה מסוימת ביניהן. הנסיונות לאחד אותן לא צלחו בעשרות השנים האחרונות, ויתכן שכ”א מהן תצטרך קצת ‘להתכופף’ לצורך יצירת תאוריה אחדותית גדולה.
כתבתי “שה’כמעט הכל’ יכול להיות (מבחינה עקרונית, לא מבחינה מעשית /טכנולוגית!) כמעט לא כלום”. כוונתי היא זו: בהחלט יכול להיות שבמהלך של ההתכופפות הנ”ל נמצא שתוכן המושגים בתאוריות הקימות – משתנה, בדיוק כפי שקרה למושגים במעבר מתורת ניוטון לפיסיקה החדשה. במקרה כזה, הפיסיקה הקימת תמשיך ‘להצליח’ באופן מקורב בקני מידה מוגדרים מראש, ואפילו כמעט בכל קנה מידה, אבל מבחינת ערך האמת של מושגיה (ורק מבחינה זו, ופרט לבמקרים מיוחדים מבחינה חישובית – ) ה’כמעט הכל’ הוא ‘כמעט לא כלום”.
לגדי
לדעתי פירשת לא נכון את מושג ה"כמעט", אין כאן עניין של ציניות.
דומני כי יש לפרש את מושג ה"כמעט" באופן מתמטי כדלקמן :
לכל תאוריה פיסיקאלית, המבוטאת במונחים מתמטים (כמותיים), ישנה לפחות נקודה אחת,בתוך המרחב בו מוגדרת התאוריה, בה התאוריה אינה מוגדרת. משמעות הדבר היא כי התאוריה נכונה באופן כללי בכל המרחב בו היא מוגדרת למעט נקודה אחת (לפחות) בה התאוריה אינה מוגדרת מתמטית.(נקודה זו נקראת גם נקודת אי-רציפות) זאת משמעות ה"כמעט".
מה שאומר (להבנתי) המשפט של וולפרט הוא כי, לכל התאוריות הפיסיקאליות ישנה לפחות נקודת אי-רציפות אחת, בה התאוריה אינה מוגדרת. לפיכך אף תאוריה אינה מתארת את כל הנקודות ביקום אלא רק "כמעט" את כולן.
חשוב להדגיש כי משפט וולפרט אינו רק משפט אמפירי הנובע מסקירת כל התאוריות הקיימות אלא, משפט לוגי הכרחי.
לאדי,
מה פירוש "כמעט הכל יכול להיות לא כלום"?
שתי התאוריות המרכזיות של הפיזיקה במאה ה 20 נותנות תיאור מרשים של מבנה היקום בקני המידה של החלקיקים ועד למבנה היקום. הן אינן תאוריות של הכל, האם הן לא כלום?
עקרונית ייתכן שתנוסח תאוריה שתאחד את שתי התורות הללו לכדי תאוריה אחת שמייצרת תחזיות שיאוששו.
ייתכן שהיא לא תהיה מושלמת או מקיפה לגמרי. האם היא תהיה לא כלום?
אדי, לדעתי פיספסת את הציניות שהייתה במשפט,
הדגש היה על המילה "כמעט" כלומר החוקרים שרוצים להגיע לתיאוריה של הכל,
יכולים מקסימום, לטענת בינדר, להגיע לתיאוריה של כמעט הכל.
“פיליפ מ’ בינדר, פיזיקאי מאוניברסיטת הוואי שבעיר הילו, מעלה את האפשרות שהתיאוריה מורה על כך שחוקרים שמחפשים חוקים מאוחדים יכולים לקוות לכל היותר להגיע ל”תיאוריה של כמעט הכול.”
השאלה היא באיזה מובן התאוריהה היא תאוריה של ‘כמעט הכל’. במפנה המאה העשרים סבר קלוין שיש ביד הפיסיקה תאוריה של כמעט הכל – והוא טעה בגדול, כיון שהפיסיקה החדשה הכניסה שינוי מושגים מהותי.
מסתבר שה’כמעט הכל’ יכול להיות (מבחינה עקרונית, לא מבחינה מעשית /טכנולוגית!) כמעט לא כלום.
"ככלות הכל ,השטן או השדון נמצא בפרטים":)